Перша інтерполяційна формула Ньютона

Нехай задана таблиця значень функції , тобто дано, що , , . Поставимо завдання знайти поліном : і для всіх . Остання умова еквівалентна тому, що .

Многочлен будемо шукати у вигляді: (1)В дану рівність підставимо : .(2)

Обчислимо першу різницю: , в дану рівність підставимо : (3) . , підставивши , отримаємо: ,

.(4)

В загальному випадку.(5)

Формули (2), (3), (4), (5) підставимо в (1), отримаємо:

(6)- перший інтерполяційний поліном Ньютона.

,

.

Для використання на практиці формулу (6) спрощують. Покладемо: - кількість кроків, яка необхідна для того, щоб від точки перейти до точки .

Тоді . З (6) будемо мати: .

Зауваження: якщо задана необмежена таблиця значень функції, то число вибирають так, щоб різниця була сталою з заданою точністю. Першу інтерполяційну формулу Ньютона зручно використовувати для інтерполяції та екстраполяції функції, коли .

Для оцінки похибки користуються формулою: , де проміжна точка між

Наприклад: знайти інтерполяційний поліном Ньютона для функції на відрізку , взявши .

x	y
3.5	33.115	1.698	0.087	0.005
3.55	34.813	1.785	0.092	0.003
3.6	36.598	1.877	0.095
3.65	38.475	1.972
3.7	40.441

Бачимо, що треті різниці дуже мало відрізняються, беремо .

Дата добавления: 2014-01-07