Метод сіток розв’язування лінійних диференціальних рівнянь гіперболічного типу

Розглянемо метод сіток для розв’язування диференціальних рівнянь такого типу:

(1)

де - функції змінних х та у.

- одного знаку

Задача1: під нею розуміють розв‘язок задачі Коші яка полягає в відшуканні розв‘язку задачі (1) в області , який задовольняє:

(2)

Задача2: Розв‘язок змішаної задачі яка полягає в відшуканні розв‘язку рівняння (1) в області:

,

який задовольняє початкові умови:

(3)

і деякі умови на прямих:

Розглядають три типи умов на прямих, що обмежують область:

1) (4)

2) (5)

3) (6)

Аналогічно так само на прямій

- задані функції.

Розглянемо метод сіток:

Для кожного внутрішнього вузла диференціального рівняння (1) замінимо різницевим рівнянням замінивши відповідні похідні наступним способом:

Підставимо цю заміну в рівняння (1) маємо:

(7)

або:

(8)

де:

З останнього рівняння (8) видно, що знаючи значення розв‘язку в вузлах і рядка в усіх вузлах рядка. Тому для розв‘язку задачі необхідно знати значення в усіх вузлах рядків і .

Ці значення шукають з початкових умов з одним з наступних способів:

1) Початкові умови:

(8‘)

2) Введемо додатковий (-1) рядок. Значення на цьому рядку нас не цікавлять. Але початкові умови:

Підставивши (8) маємо:

Таким чином значення розв‘язку на перших двох рядках будуть знайдені за формулою:

(9)

Значення розв‘язку на рядках шукають за (9) або (8‘).

Зауваження: У випадку рівняння

(10)

і квадратичної сітки , різницеве рівняння набуде вигляду:

(11)

Для обчислення значення на перших двох рядках отримаємо наступне:

1)

2)

Будемо вважати, що у розв‘язку існує до четвертого порядку.

Використавши розклад в ряд Тейлора аналогічно до еліптичних рівнянь отримаємо:

де:

Позначивши

(12)

Похибки апроксимації початкових умов.

У випадку формул (8‘) перша умова похибки не дає, а друга умова дає похибку:

У випадку (9) похибка буде:

Означення: Різницева схема називається Явною якщо для довільного J кожне з рівнянь яке пов‘язує значення шуканого розв‘язку на горизонтальних рядах входить лише одна точка ряду так, що значення розв‘язку в кожній точці го рядку можна знайти незалежно від його значень в інших точках цього рядка.

Означення: Різницева схема називається неявною, якщо для відшукання значень на му рядку при умові, що значення на попередніх рядках відомі необхідно розв‘язати систему рівнянь яка пов‘язує значення розв‘язку в кількох точках го рядка.

Наведена вище схема є явною.

Дата добавления: 2014-01-07