Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод сіток розв‘язування лінійних диференціальних рівнянь параболічного типу




Поняття стійкості різницевих схем.

 

Нехай задано диференціальне рівняння:

(1)

де - задані функції змінних .

 

п.1. Метод сіток для розв‘язування задачі Коші.

Нехай нам потрібно знайти рівняння (1). У півплощині який задовольняє:

(2)

- задана.

Розглянемо дві сім‘ї паралельних прямих.

Для довільного вузла , похідні з рівняння (1) замінимо:

Похідну по в вузлі будемо замінювати одним з трьох способів.

(*)

В залежності від цього отримаємо три типи різні апроксимації рівняння (1):

(3)

Аналогічно використовуючи два останніх рівняння (*) отримаємо відповідно апроксимації (4) і (5)

 

 

       
 
   
 


1) 2)

 

 
 


3)

 

 

Перша і третя схеми явні, друга – неявна.

Для вузлів нульового горизонтального ряду з умови (2) маємо:

Якщо диференціальне рівняння (1) записати у вигляді:

(6),

то рівняння (3)-(5) спрощуються (будемо позначати, що)

1) (7)

2) (8)

3) (9)

Число підбирають як омога простіші.

 

п.2. Метод сіток для розв‘язування мішаних задач.

 

(10)

Задачу будемо формулювати так: Знайти розв‘язок рівняння (10) в прямокутнику (11). Який задовольняє початкові умови (2):

(12) і

 

 

(13)

де: - задані функції змінної .

Розглянемо сітку точок:

де:

Вузли яких лежать на прямих будемо вважати граничними, всі інші внутрішні.

Для внутрішніх вузлів будемо мати рівняння (7)-(9).

Для вузлів які лежать на прямій маємо:

Для граничних вузлів на прямих запишемо:

(14)

Тому знову отримаємо три різницеві схеми. Перша це рівняння (7) для

і умови (14).

Друга схема це рівняння (8) і (14). Третя це рівняння (9) і (14).

До всіх трьох схем також додається рівність:

 

 

п.3. Поняття стійкості різницевих схем.

При проведенні обчислень за деякою схемою неминучим є заокруглення результатів.

Бувають випадки коли похибка заокруглень (або помилка), яка виникла на певному кроці зростає дуже швидко і врешті спотворює результат.

Наприклад: Розглянемо схему:

 

 

         
       
   

 

Означення: Різницеву схему називають стійкою, якщо обчислювальна похибка при переході від одного ряду до іншого не зростає. В протилежному випадку вона є нестійкою.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 378; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.