Зведення багатокритеріальної задачі до однокритеріальної

Розглянемо найбільш вживані способи розв’язку багатокритеріальних задач. Перший спосіб полягає у тому, щоби багатокритеріальну задачу звести до однокритеріальної. Це означає введення суперкритерію, тобто скалярної функції векторного аргументу:

q₀ (x ) = q₀ (q₁ (x ), q₂ (x ), …, q_p (x )). (2)

Суперкритерій дозволяє впорядкувати альтернативи за величиною q₀, виділивши найкращу альтернативу (у смислі цього критерію). Вид функції q₀ визначається тим, як представляється внесок кожного критерію у суперкритерій. Звичайно використовують адитивні або мультиплікативні функції:

q₀ = ; (3)

1 - q₀ = (4)

Коефіцієнти s_i забезпечують, по-перше, безрозмірність числа q_i/s_i (часткові критерії можуть мати різну розмірність, і тоді деякі арифметичні операції над ними, наприклад додавання, не мають смислу) і, по-друге, у необхідних випадках (як у формулі (4)) виконання умови β_iq_i/s_i ≤ 1. Коефіцієнти α_i та β_i виражають відносний внесок часткових критеріїв у суперкритерій.

При даному способі задача зводиться до максимізації суперкритерію:

x^* = arg q₀ (q₁ (x), q₂ (x),…, q_p (x)). (5)

Очевидне достоїнство об’єднання декількох критеріїв в один суперкритерій супроводжується рядом трудностей та недоліків, котрі необхідно враховувати. Залишивши осторонь труднощі побудови самої функції та обчислювальні труднощі її максимізації, звернемо увагу на наступний дуже важливий момент. Впорядкування точок у багатовимірному просторі у принципі не може бути однозначним та повністю визначається видом функції упорядкування. Суперкритерій грає роль цієї функції упорядкування, і його навіть „невелика” зміна може привести до того, що оптимальна у новому розумінні альтернатива з’явиться дуже сильно відмінною від старої. На Рис.17 а) видно, як змінюється вибір найкращої альтернативи при простій зміні коефіцієнтів лінійної функції упорядкування (3), що відображається в зміні нахилу відповідної прямої: q₀₁ (x₁^*)> q₀₁ (x₂^*), але q₀₂ (x₁^*) < q₀₂ (x₂^*). Відмітимо, що лінійні комбінації часткових критеріїв придають впорядковуванню наступний зміст: „ Чим далі від нуля у заданому напрямку, тим краще ”. На Рис.19 а) напрямки, що відповідають суперкритеріям q₀₁ та q₀₂, зображені стрілками. Другий варіант пошуку альтернативи, що найбільш віддалена від нуля у заданому напрямку, максимізує мінімальний критерій:

x^* = arg (6)

що означає пошук навколо напрямку α_iβ_i / s_i = Сonst методом „підтягування самого відстаючого”.

Дата добавления: 2014-01-07