Універсум. Підмножини

У теорії множин використовується поняття порожньої множини. Порожня множина – це множина, яка не містить елементів. Позначається вона символом Æ. Введення порожньої множини дає можливість оперувати будь-якою множиною без попереднього застереження, існує вона чи ні. Наприклад, множина S = { x | x – непарне число, що ділиться на 2} буде порожньою.

Означення 1.1. Множина A є підмножиною множини В, якщо кожний елемент А є елементом В, тобто якщо x ÎA, то x ÎВ. Для позначення цього факту водиться знак «Ì» - символ включення (або «Í»). При цьому множина В буде називатися надмножиною множини А.

Якщо необхідно підкреслити, що множина В містить також інші елементи, крім елементів множини А, то використовують символ строгого включення: АÌВ. Зв’язок між символами Ì та Í задається виразом

AÌB Û AÍB & А¹В.

Зокрема кожна множина є підмножиною самої себе. Якщо А не є підмножиною В, то пишуть АËВ. Тобто існує елемент множини А, який не належить В.

Говорять, що множина А є власною підмножиною В, якщо AÌB і А¹В. В такому випадку множина В буде власною надмножиною.

Означення 1.2. Універсум (універсальна множина) U – множина з такою властивістю, що всі множини, які розглядаються, є її підмножинами.

У теорії чисел універсум зазвичай співпадає із множиною всіх цілих або натуральних чисел. У математичному аналізі універсум – множина всіх дійсних чисел, або множина всіх точок n-мірного простору. Треба зазначити, що універсум однозначно не визначений, якщо точно не вказана область визначення (предметна область). Звичайно, будь-яка множина, яка містить U, може бути використана як універсум.

За визначенням, кожна з множин є підмножиною універсуму. Порожня множина є підмножиною будь-якої даної множини S, оскільки кожний елемент порожньої множини міститься в S (або не існує елементів порожньої множини, які б не належали S).

Треба бути уважним, щоб розрізняти елементи множини та підмножини цієї множини. Наприклад, коли пишуть a Î{ a,b,c }, це означає, що елемент a є членом множини, що складається з трьох елементів: a, b і c. Коли ж пишуть { a }Ì{ a,b,c }, це означає, що множина, що складається з одного елемента a, є підмножиною множини, яка складається з трьох елементів: a, b і c.

Означення 1.3. Дві множини рівні, коли вони складаються з одних і тих самих елементів:

A=B Û " x (x ÎAÛ x ÎB).

Наприклад, {1,2,3} = {3,2,1}.

Лема 1.1. Стверджується наступна рівність:

AÌB & BÌA Û A=B.

Доведення. Необхідність. Розглянемо будь-який елемент x ÎА. Множина А є підмножиною В, тому x ÎВ. З іншого боку, будь-який елемент x ÎВ (оскільки BÌA) належить також множині А, тобто x ÎА. За означенням рівності маємо А=В.

Достатність. Розглянемо будь-який елемент x ÎА. Оскільки А=В, маємо x ÎB. Тоді за означенням включення множин AÌB. Розглянемо будь-який елемент x ÎB. Якщо А=В, то x ÎА. За означенням включення ВÌА. ►

Лема 1.2. Стверджується наступна рівність (властивість транзитивності):

AÌB & BÌС Û АÌС.

Доведення. Якщо x ÎА, то x ÎВ. Також якщо x ÎВ, то x ÎС. Тобто якщо x ÎА, то x ÎС. Отримали АÌС. ►

Лема 1.3. Порожня множина єдина.

Це можна довести виходячи з означення рівності множин.

Ми вже зазначали раніше, що елементами множини можуть бути якісь інші множини.

Означення 1.4. Множину, елементами якої є всі підмножини А, називають множиною підмножин (булеаном) множини А і позначають Р(А).

Так для триелементної множини А = { a,b,c } маємо P(A) = {Æ, { a }, { b }, { c }, { a,b }, { a,c }, { b,c }, { a,b,c }}.

У разі кінцевої множини А, що складається з n елементів, її булеан Р(А) містить 2ⁿ елементів. Доведення ґрунтується на підсумовуванні всіх коефіцієнтів розкладу бінома Н’ютона або на поданні підмножин n-розрядними двійковими числами, в яких 1 (або 0) відповідає елементам підмножин.

Слід підкреслити відмінності між відношенням належності (Î) та відношенням включення (Ì). Відношення включення має властивість транзитивності, а відношення належності – ні. Наприклад, множина А = {{1}, {2,3}, {4}} у числі своїх елементів містить множину {2,3}, тоді можна записати

2,3 Î {2,3} і {2,3}ÎА.

Однак це не означає, що елементи 2 та 3 є в множині А (в наведеному прикладі немає 2 і 3 серед елементів множини А, тобто 2,3ÏА).

Дата добавления: 2014-01-07