Інтерполяція для випадку рівновіддалених вузлів

Вузли називаються рівновіддаленими, якщо відрізок [ x₀, x_n ] поділений точками x_i на n рівних частин: . Для невузлових точок i було б нецілим, але натомість вводиться величина , яка є відстанню від x до x₀ в одиницях h. Тоді .

Кінцевими різницями функції y=y(х) називаються різниці виду:

– кінцеві різниці 1-го порядку;

– кінцеві різниці 2-го порядку;

– кінцеві різниці k -го порядку.

В залежності від розташування досліджуваної точки відносно відомих, заданих таблично, кращі наближення дають різні інтерполяційні багаточлени, побудовані з використанням кінцевих різниць.

Інтерполяційні формули Ньютона

Для інтерполяції та екстраполяції в точках x, близьких до початку таблиці, використовується перша інтерполяційна формула Ньютона, яка має вигляд:

або .

де m=2i-1, q=(x-x₀)/h.

В ній використовується рядок N_I таблиці різниць:

x	y	Dy	D^2y	D^3y	D^4y
x0	y0	Dy0	D^2y0	D^3y0	D^4y0	N1
x1	y1	Dy1	D^2y1	D^3y1	D^4y1	N2
x2	y2	Dy2	D^2y2	D^3y2
x3	y3	Dy3	D^2y3
x4	y4	Dy4
x5	y5

Таблиця 1. Горизонтальна таблиця кінцевих різниць при і=5

При n=1 і n=2 з цієї формули одержуємо часткові випадки:

лінійна інтерполяція ,

квадратична інтерполяція .

Якщо точка інтерполювання лежить поблизу кінцевої точки x_n таблиці або десь справа від неї, вузли треба брати в порядку x_n, x_n-h, x_n-2h,.... Тоді формула набуде вигляду:

або .

Це – друга інтерполяційна формула Ньютона. В ній використовується нижній похилий рядок таблиці 1.

Дата добавления: 2014-01-07