Метод прямокутників

Огляд методів чисельного інтегрування.

При чисельному інтегруванні використовуються такі формули:

m

S @ Sc_i f _i,

i=1

де m - кількість відрізків інтегрування;

c_i – коефіцієнт, який визначається формулою чисельного інтегрування;

f _i = f(x _i)= y_i – значення функції в точці i (i=0,1,2.. m).

Найпростіший прийом чисельного інтегрування, при якому функція y = f(x) замінюється інтерполяційним багаточленом нульового порядку. Для підвищення точності інтегрування відрізок [ a, b ] розбивається на m частин і формула прямокутника застосовується до кожного відрізку.

Площа прямокутника для елементарного відрізку дорівнює:

z_i= f(x _i) (x _i+1 - x _i) = y_iD x _i

Для рівномірно розбитих відрізків маємо площу прямокутника: z_i = h f(x _i),

де h =D x _i =(x _i+1 - x _i)= (b-a) /m.

Сума площ всіх прямокутників дає формулу чисельного інтегрування (формулу прямокутників):

m-1

S @ hS y_i,

i=0

Графічно метод можна представити у такому вигляді (мал.2):

y

x

Мал. 2

Точність даного методу залежить від способу формування прямокутників. За сторону прямокутника ми брали значенням функції в точці a, a+h і так до а+(m-1)*h. Отримали формулу ”лівих” прямокутників. Дещо інший результат буде, якщо брати значенням функції в точці a+h. a+2h і так до b. Між цими значеннями буде розходження, що залежить від виду функції, що інтегрується. Можна також взяти значення функції посередині відрізка: f(x _i) = f(a+h(i-0,5)). Отримаємо метод ”середніх” прямокутників. Через низьку точність ці методи застосовуються рідко.

Дата добавления: 2014-01-07