Рух тіла змінної маси

Існує багато таких прикладів, коли маса тіла неперервно змінюється в процесі руху (космічний човен, літак, платформа, що навантажується на ходу і інші).

Наша задача: знайти рівняння руху такого тіла.

Розглянемо рух тіла (матеріальної точки), здатного виштовхувати частину своєі маси з певною швидкістю або приєднувати будь-яку масу (наприклад, втягувати в себе повітря). Щоб записати рівняння руху цього тіла, скористаємось загальним законом механіки – законом зміни імпульсу з часом:

.

Обчислимо зміну імпульсу, враховуючи імпульс, що вноситься і виноситься масами, які приєднуються і відокремлюються.

Нехай в момент часу тіло мало масу , швидкість ; маса частинок, що від’єдналася, і її швидкість ; маса частинок, що приєднається, і її швидкість (рис.35). Згідно з означенням імпульсу, маємо

.

У момент часу тіло змінило свою масу за рахунок мас, що приєднуються і відокремлюються, і тепер його маса дорівнює , а швидкість ; маса частинок, що відокремилися, , а швидкість ; аналогічно, маса частинок, які приєднуються, , а їх швидкість (вважаємо, що швидкість мас, які приєднуються і відокремлюються, залишається сталою). Очевидно, і мпульс у момент часу буде

.

Оскільки повна маса зберігається, то

.

Обчислимо похідну

тут ми знехтували – величиною другого порядку малості. Враховуючи співвідношення, запишемо у вигляді

.

Вектори і це швидкості (відносні), з якими маси, що відокремлюються від тіла і приєднуються до нього, рухаються відносно самого тіла. Підставивши у формулу відносні швидкості, перепишемо її у вигляді:

.

Рівняння називається рівнянням Мещерського, а два останні доданки в правій його частині є реактивними силами.

Розглянемо випадок реактивного руху (в космічному просторі). При реактивному русі тіло (ракета) рухається за рахунок зменшення своєї маси, при цьому , і рівняння набуває вигляду

.

Похідна , оскільки маса тіла з часом зменшується. Звідси випливає, що ракета буде прискорювати рух, тобто , якщо і мають протилежний напрям, оскільки в цьому разі проекція реактивної сили в рівнянні на напрям додатня.

Другим важливим випадком руху, що описується рівнянням, є повітряно-реактивний рух. При цьому маса тіла не змінюється, тобто , і рівняння набуває вигляду

.

У формулі похідна , а і напрямлені протилежно , тому проекція цього рівняння на напрям має вигляд

.

Ясно, що рух буде з прискоренням, тобто , якщо , тобто частинки повинні відокремлюватись з більшою відносною швидкістю, ніж їхня швидкість в момент приєднання.

Застосування рівняння Мещерського розглянемо на найпростішому прикладі руху ракети, уперше дослідженому К.Е.Ціолковським. Приймемо припущення Ціолковського, за яким вектор відносної швидкості відокремлюваних частинок сталий за модулем, спрямований по дотичній до траєкторії руху літального апарату і напрямлений протилежно до вектора . У відсутності зовнішнього силового поля на підставі маємо проекцію рівняння руху на напрям

.

Інтегруючи при початкових умовах: , , дістанемо

.

Цю формулу вперше вивів К.Е.Ціолковський. Опубліковано її в 1903р.. Якщо – маса літального апарата в кінці процесу згорання пального, – початкова маса пального, то з рівняння отримаємо такий вираз для максимального значення швидкості ракети

.

З випливає, наприклад, що більш ефективним для збільшення є не збільшення початкового запасу пального , а збільшення швидкості витікання струї газу.

Глава 5
Закон збереження моменту імпульсу

Дата добавления: 2014-01-06