Уравнение Шредингера

Для того, чтобы определить волновую функцию в общем случае используется основное уравнение нерелятивистской квантовой механики - уравнение Шредингера (1926г.). Оно не выводится, а вводится как новый принцип, который затем проверяется на эксперименте. Это уравнение удовлетворяет требования, которые вытекают из самых общих физических соображений. Во-первых, оно должно быть линейным уравнением, т.к. должен выполняться принцип суперпозиции. Во-вторых, уравнение должно содержать только фундаментальные константы, например e, m, h.

Для свободной нерелятивистской частицы

(2.1)

С другой стороны, её волна де Бройля ()

(2.2)

Рассмотрим производные:

Последнему выражению можно сопоставить следующее равенство

Это уравнение и является уравнением Шредингера для свободного одномерного движения. Проделанная процедура не есть получение уравнения, а просто наводящие соображения для его написания. Обобщение на трехмерный случай (свободная частица) тривиально:

Исходя из того, что полная энергия частицы во внешнем поле равна

получаем

Если ввести оператор Гамильтона - гамильтониан

то уравнение Шредингера примет вид

В таком виде мы имеем нестационарное уравнение Шредингера - основное динамическое уравнение нерелятивистской волновой механики. Оно играет такую же важную роль, как уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в теории электромагнитного поля. Уравнение Шредингера описывает изменение во времени поведения микрообъектов, характеризуемых волновой функцией.

В стационарном случае, когда гамильтониан не зависит от времени, можно разделить уравнение (2.9) на два уравнения - для координатной и временной частей волновой функции. Для этого подставим волновую функцию в виде

(2.10)

в уравнение Шредингера.

Поделив обе части уравнения на полную функцию, имеем

Левая часть уравнения зависит только от времени t, а правая часть зависит только от пространственных координат. Поскольку это равенство справедливо при произвольных значениях независимых переменных, то обе части уравнения равны константе - константе разделения, которую обозначим через Е. Итак, мы имеем 2 уравнения. Первое уравнение

имеет решение

Уравнение для координатной части волновой функции

или

называется стационарным уравнением Шредингера.

Полная волновая функция стационарного состояния имеет вид

где y(r) – решение стационарного уравнения Шредингера. Плотность вероятности распределения не зависит от времени, т.е. стационарна.

Дата добавления: 2014-01-07