Операторы. Операторный метод - традиционная и основная формулировка квантовой механики

Операторный метод - традиционная и основная формулировка квантовой механики. В квантовой механике любой динамической переменной, любой физической величине приводится в соответствие квантово-механический оператор.

Оператор - это правило, по которому любой выбранной функции j приводится в соответствие другая функция f:

Ранее мы уже встречались с операторами:. При использовании операторов имеется договорное условие: оператор пишется всегда слева от функции, которая стоит справа от него и оператор действует на все, что стоит справа от него (если нет ограничивающих скобок).

В квантовой механике применяются только линейные операторы, чтобы не нарушался принцип суперпозиции состояний. Свойство линейных операторов:

, (2.19)

где С ₁, С ₂ - произвольные постоянные.

Основные операторы квантовой механики в координатном представлении:

1) Оператор координаты: является оператором умножения;

2) Оператор полной энергии (гамильтониан)

является суммой операторов кинетической

и потенциальной энергии

3) Оператор импульса. Исходя из выражения для кинетической энергии, получим, что оператор импульса равен

Оператор проекции импульса на ось x

4) Оператор момента импульса

Действия с операторами:

1) Суперпозиция

2) Сумма операторов

3) Произведение операторов

(; (2.28)

Вообще говоря, операторы и некоммутативны, т.е. их последовательное действие не совпадает с последовательным обратным действием:. Можно определить коммутатор двух операторов

и антикоммутатор

Если для двух операторов выполняется условие

, (2.31)

т.е. их коммутатор равен нулю, то говорят, что эти операторы коммутируют. Для того, чтобы найти коммутатор, надо подействовать им на произвольную функцию Например, не коммутируют операторы, коммутатор которых равен:

Очевидно, что операторы и коммутируют, т.е..

Собственные функции и собственные значения

В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется оператор. Рассмотрим задачу определения собственных чисел f и g, и собственных функций j и y операторов и:

(2.33)

где n - значок, соответствующий номеру решения. Собственные функции - это такие функции, которые под действием оператора переходят сами в себя, умноженные на постоянное число g_n. Соответствующие значения g_n называются собственными значениями оператора. Собственныеволновые функции описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина gимеет определенное значениеg_n. Иначе говоря, если частица (или система) находится в состоянии, то ее физическая величина g в этом состоянии равна g_n и постоянна. Совокупность собственных значений g_n называется спектром оператора.

Спектр собственных значений может быть дискретным и непрерывным. Дискретный спектр g_n имеет место, если уравнение имеет решение не при всех, а только при определенных g_n. Непрерывный или сплошной спектр g_n имеет место, когда это уравнение имеет решение при всех значениях g_n или хотя бы при всех g_n в некоторой области. Спектр собственных значений может быть смешанным, т.е. состоящим из дискретных и непрерывных значений g_n. Уравнение на собственные значения оператора координаты в координатном представлении квантовой механики имеет решение при всех значениях координаты, т.е. x имеет сплошной спектр. Собственные функции оператора проекции импульса находятся из. Решения существуют при любых значениях p_x, т.е. оператор проекции импульса имеет непрерывный спектр.

Решения стационарного уравнения Шредингера зависят от вида оператора потенциальной энергии. При этом можно получить как дискретный спектр (электрон в атоме водорода), так и непрерывный спектр (свободная частица).

Дата добавления: 2014-01-07