Самосопряженные (эрмитовы) операторы и их свойства

Непосредственно измеряемые (“наблюдаемые”) физические величины вещественны, т.е. все собственные значения оператора - { g_n } должны быть вещественны. В результате измерения физической величины, описываемой оператором ^, получаем:

1) если физическая система (частица) находится в состоянии, описываемом собственной функцией, то при измерении получим соответствующее собственное значение g_n;

2) если система (частица) описывается произвольной функцией, то при измерении наблюдаемой, т.е. действии оператора, получим линейную комбинацию из собственных значений g_n - некое среднее значение, которое тоже вещественно.

Введем понятие транспонированного оператора, который определяется из соотношения

, (2.34)

т.е. транспонированный оператор дает тот же результат, действуя на левую функцию, что и оператор, действуя на правую.

Самосопряженные операторы определяются следующим равенством

где - оператор, сопряженный к оператору.

Если

(2.36)

то этот оператор называется эрмитовым или самосопряженным оператором. Можно сказать, что действие оператора на правую от него функцию совпадает с действием комплексно сопряженного оператора на левую функцию:

Таким образом, сопряженный оператор – это комплексно сопряженный оператор от транспонированного оператора

Рассмотрим оператор дифференцирования. Будем считать, что волновые функции равны нулю на бесконечности. Вычислим оператор, сопряженный оператору с помощью интегрирования по частям:

Таким образом, оператор, сопряженный оператору, равен

и, следовательно, оператор не являетсяэрмитовым. Очевидно, что

оператор импульса - самосопряженный оператор.

Оператор координаты также эрмитов оператор.

Рассмотрим уравнения и

(2.39)

Данное равенство означает, что собственные значения эрмитова оператора в ещественны.

Произведение двух эрмитовых коммутирующих операторов есть эрмитов оператор

Пусть мы имеем дискретный набор собственных значений и собственных функций эрмитова оператора (причем считаем, что нет вырождения, т.е. все волновые функции разные для разных собственных значений):

В математике строго доказано, что набор собственных волновых функций эрмитова оператора образует полную систему ортонормированных волновых функций, т.е.

В самом деле, для доказательства ортогональности рассмотрим два равенства

Умножим слева первое уравнение на, второе на, и проинтегрируем. Вычитая второе уравнение из первого уравнения и учитывая, что (- эрмитов оператор), получаем:

,

Отсюда следует, что если l _n ¹ l _m, то. Полнота набора означает, что любую функцию можно разложить в ряд по функциям.

В случае, когда имеем вырождение, волновая функция берется в виде линейной комбинации, где все волновые функции имеют одно и то же собственное значение. При этом линейные комбинации можно сделать такими, что новые волновые функции будут ортонормированными.

Рассмотрим разложение произвольной функции в ряд по системе собственных функций самосопряженного линейного оператора

Коэффициенты разложения можно получить, умножив обе части выражения на и интегрируя:

Таким образом,

Квадрат коэффициента | | дает вероятность того, что в состоянии, описываемом, присутствует примесь состояния.

Если имеем непрерывный спектр значений, тогда волновую функцию раскладываем в интеграл

, (2.47)

где коэффициенты определяются

Волновые функции непрерывного спектра нормируются на d -функцию

Дата добавления: 2014-01-07