Понятие интегральной суммы и определённого интеграла

Пусть на промежутке [ a; b ] задана функция f (x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [ a; b ] произвольные числа x ₁, x ₂, x ₃, ¼, x_{n -1}, удовлетворяющие условию:
a < x ₁,< x ₂<¼< x_{n -1},< b. Эти числа разбивают промежуток [ a; b ] на n более мелких промежутков: [ a; x ₁], [ x ₁; x ₂], ¼, [ x_{n -1}; b ]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c ₁Î[ a; x ₁], c ₂Î[ x ₁; x ₂], ¼, c_n Î[ x_{n -1}; b ].

Введем обозначения: D x ₁ = x ₁ – a; D x ₂ = x ₂ – x ₁; ¼, D x_n = b – x_{n- 1}.

Составим сумму: .

Она называется интегральной суммой функции f (x) по промежутку [ a; b ]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек c_i.

Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой (Рис. 1).

Рассмотрим процесс, при котором , т.е. число точек разбиения неограниченно возрастает. Определенным интегралом от функции по промежутку [ a; b ] называется предел, к которому стремится интегральная сумма, если этот предел существует:

.

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [ a; b ] и выбора точек c_i.

Число a называется нижним пределом интегрирования, ачислоb ¾ верхним пределом интегрирования.

Рассмотрим криволинейную трапецию. На Рис. 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой .

Если f (x) < 0 во всех точках промежутка [ a; b ] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [ a; b ] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f (x), определяется формулой

.

Перечислим свойства определенного интеграла:

1) (здесь k ‑ произвольное число);

2) ;

3) ;

4) Если cÎ [ a; b ], то .

Из этих свойств следует, например, что .

Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Дата добавления: 2014-01-07