Оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат

Оператор момента импульса в сферической системе координат

Момент импульса в квантовой механике

Оператор момента импульса

(4.1)

, (4.2)

где проекции оператора момента импульса:

(4.3)

Вычислим коммутатор двух проекций момента импульса, используя известное нам соотношение коммутации:

(4.4)

Для остальных проекций момента импульса получаем:

(4.5)

Так как коммутаторы в (4.5) отличны от нуля, то две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и вектор момента импульса не имеет определенного направления в пространстве. Кроме соотношения (4.5), выполняются следующие правила коммутации, которые в сжатом виде можно представить, как ():

, (4.6)

Здесь – единичный псевдотензор третьего ранга. Он равен нулю, если любая пара индексов совпадает, равен единице в случае и меняет знак при перестановке соседних индексов Рассмотрим теперь более подробно оператор. Введём операторы,, для которых имеют место соотношения:

,,. (4.7)

В терминах этих операторов квадрат момента импульса

(4.8)

Из (4.8) и (4.7) сразу же следует, что. Таким образом, в квантовой механике векторная величина момента импульса не может иметь определенного значения. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и одна из его проекций, которая не может совпадать с модулем

Поскольку нас будет интересовать приложение теории момента импульса к движению частицы в центральном поле, то необходимо определить его в сферической системе координат (r,q,j):

(4.9)

Пусть меняется только одна координата - угол j, т.е. осуществляется вращение вокруг оси Z, тогда

(4.10)

Решим уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции момента импульса.

(4.11)

Решением этого уравнения является функция

(4.12)

Понятно, что функция должна остаться той же (без учета спина) при повороте на 2p, т.е. Подставляя сюда (4.12), получаем, откуда следует, что

(4.13)

Число m определяет проекцию момента импульса частицы L_z и называется магнитным квантовым числом. Подставляя (4.13) в (4.12), получаем Коэффициент А определяем из нормировки собственной функции:

Легко видеть, что собственные функции ортонормированны –

Итак, проекция момента импульса на произвольное выделенное направление Z квантована, т.е. она может принимать только значения, кратные значениям h. Остальные две проекции момента импульса не определены.

В сферической системе координат, используя (4.9), можно получить:

,

. (4.14)

Собственные числа оператора удается найти, используя только известные соотношения коммутации. Для этого перепишем (4.11) в обозначениях Дирака ()

и рассмотрим

. (4.15)

Полученное равенство означает, что волновая функция также является собственной функцией оператора, но отвечающей собственному числу (m+1). Другими словами, она пропорциональна функции. Так проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, то число m ограничено сверху. Обозначим максимальное значение проекции момента импульса символом L, тогда из предыдущего выражения следует, что

. (4.16)

Подействуем на (4.16) слева оператором. Тогда, используя (4.8), получаем. Так как - общая собственная функция операторов и, то

(4.17)

Здесь, как и m - целое число. Поэтому:

, L = 0, 1, 2, 3,….; m = L, L- 1, L- 2, …0, -1, ….- L.

Итак, мы нашли собственные значения оператора, не решая сложного дифференциального уравнения в частных производных.

Глава 5. Физика атомов

Дата добавления: 2014-01-07