Решение уравнения Шредингера одномерного осциллятора при помощи операторов рождения и уничтожения

Существует более простой и современный метод решения уравнения Шредингера гармонического осциллятора, основанный на представлениях об операторах рождения и уничтожения. Кроме того, в этом параграфе воспользуемся формализмом Дирака.

Введем операторы:

,. (3.68)

Прямым вычислением легко показать, что их коммутатор

[ ]=1. (3.69)

Гамильтониан одномерного квантового осциллятора записывается с помощью этих операторов в виде

. (3.70)

Удобно определять в дальнейшем энергию в единицах тогда. Используя (3.69), нетрудно показать, что

. (3.71)

Пусть - нормированное собственное состояние с энергией

E_n = n+1/2, т.е.

. (3.72)

Тогда и - собственные состояния (ненормированные) с энергией +1 и 1 соответственно. Действительно,

, (3.73)

. (3.74)

Таким образом, действие оператора на состояние переводит его в состояние, то есть повышает энергию состояния на единицу,, а действие оператора a на состояние переводит его в состояние, то есть понижает энергию состояния на единицу.

Интерпретация: состояние содержит n одинаковых частиц (квантов) с энергией E = каждая. Оператор называют повышающим оператором или оператором рождения такой частицы, а оператор - понижающим оператором или оператором уничтожения. Состояние, соответствующее условию n=0 (отсутствию возбуждений) называется основным состоянием. Понизить энергию этого состояния нельзя, поэтому это состояние должно удовлетворять уравнению.

Заметим, что собственные значения оператора

(3.75)

равны n, поэтому называют оператором числа частиц. Найдем коэффициент cn. Для этого вычислим норму вектора:

=. (3.76)

Таким образом, нормированное состояние должно быть определено, как

. (3.77)

Отличные от нуля матричные элементы операторов рождения и

уничтожения равны

. (3.78)

Прямым вычислением легко показать, что

,,

.

Как уже отмечалось, волновая функция основного состояния может быть найдена из условия

. (3.79)

Это сразу же дает

. (3.80)

Для волновой функции с n >0 получаем компактное выражение

. (3.81)

Очевидно, что эти состояния (волновые функции) ортонормированны. Это легко показать, используя соотношения коммутации (3.69) и условие (3.79).

Квантовый осциллятор в электрическом поле. Гамильтониан одномерного осциллятора в электрическом поле F, направленном вдоль оси х, имеет вид

(3.82)

где.

Введём операторы, тогда

. (3.83)

Все коммутационные соотношения для новых операторов совпадают с коммутационными соотношениями для операторов и. Очевидно, что

, (3.84)

где

. (3.85)

Рассмотрим оператор координаты

. (3.86)

В отсутствии поля все малые колебания происходят вокруг. Электрическое поле просто сдвигает положение из нуля в точку.

Глава 4. Момент импульса

Дата добавления: 2014-01-07