Линейный гармонический осциллятор. Барьер произвольной формы

Барьер произвольной формы.

x ₁

x ₂

x

D x

U (x)

y₁

y₂

Если барьер U = U (x) произвольной формы, то задачу о прохождении частицы можно решить приближенно. Пусть E = const и тогда равенство E = U (x) определяет 2 точки a и b, где частица классически “входит” и “выходит” из барьера. Сам барьер можно представить в виде суммы прямоугольных барьеров, причем каждый из них рассматривать отдельно, как ранее.

Рис.3.7. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер произвольной формы.

Приближенно задачу можно решить, если барьеры достаточно широкие, и при этом импульс p (x) и соответствующая волна де Бройля медленно меняются на расстоянии ~ l. Это условие называется условием применения квазиклассического приближения. В самом деле, воспользуемся описанием изменения волновой функции при распространении частицы в пространстве с постоянным потенциалом, а именно:, где p (x) = const (временной множитель не существенен для определения координатной зависимости). Разбивая барьер на маленькие прямоугольные барьеры шириной D x, можно считать, что на ширине D x такого барьера U (x) = const и импульс частицы не меняется. Можно записать последовательность приближенного изменения волновой функции при переходе от одного барьера к другому:

………

Тогда связь волновой функции на выходе из барьера с волновой функцией на входе записывается, как

.

Коэффициент прохождения через барьер произвольной формы

Здесь мы поменяли местами потенциальную и полную энергии частицы. В итоге

. (3.47)

Выражение (3.47) позволяет найти коэффициент прохождения через барьер произвольной формы в квазиклассическом приближении.

Классический осциллятор. Задача об осцилляторе одна из самых важных задач в механике, электромагнетизме и в квантовой механике. Сложное периодическое или колебательное движение можно свести к совокупности нормальных колебаний, эквивалентных гармоническому осциллятору. Напомним рассмотрение осциллятора в классической механике. Упругая возвращающая сила равна, при этом уравнение Ньютона имеет вид

. (3.48)

Колебательное движение (осциллятор) описывается уравнением

, где. (3.49)

Решение данного уравнения -. Энергия гармонического осциллятора может принимать произвольное значение.

Квантовый осциллятор. Уравнение Шредингера для одномерного осциллятора (U(x)=k x ²) имеет вид:

. (3.49)

Граничные условия состоят в том, что волновая функция убывает на больших расстояниях. Перепишем уравнение (3.49)

(3.50)

и введем новые обозначения:

,,. (3.51)

Вычислим производные и подставим их в (3.50). Тогда

. (3.52)

При x ® ±¥ это уравнение следует заменить уравнением

Его решением является функция, вторая производная которой равна. Для простоты еще раз воспользуемся тем, что x ® ±¥. Тогда, и имеет место

Отсюда следует, что, С ₂ = 0. Итак, решение на бесконечности Общее решение запишем в виде

(3.53)

(3.54)

Подставляя (3.54) в (3.52), получаем

(3.55)

Решение ищем в виде ряда по степеням x:

(3.56)

Начальную степень n (которая может быть отрицательной) определим из условия, чтобы u (x) нигде не обращалась в бесконечность. Тогда из (3.55):

(3.57)

Приравнивая нулю слагаемые с одинаковыми степенями x ^k, получаем:

1) при, откуда следует, что n = 0 или n = 1;

2) при, откуда n = 0 или n = -1.

Начало ряда со степени n = -1 не годится, поскольку слагаемое x ^{- 1} расходится при x ® 0. В общем случае из равенства коэффициентов

находим рекуррентное соотношение

(3.58)

Общее рекуррентное соотношение позволяет вычислить коэффициенты ряда через единицу. Ряды могут начинаться с n = 0 или с n = 1. Итак, имеем в ответе два ряда:

(3.59)

Ряды (3.59) расходятся, однако решение существует, если ряд оборвать и сделать конечным. Оборвать ряд u можно с помощью выбора параметра l. Оборвать ряд - это означает приравнять коэффициент b_{k +2} в соотношении (3.58) нулю, откуда следует, что

. (3.60)

Поскольку k есть порядковый номер членов ряда, то это целое число и тогда l также целое число. Поэтому

, где n = 0,1,2,3,... (3.61)

Вспоминая выражение для l, находим разрешенные уровни энергии

, (3.62)

где n = 0,1,2,3,... Итак, мы получили эквидистантный спектр энергий одномерного осциллятора, когда уровни энергии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Это расстояние равно энергии кванта hw. Низший уровень энергии отличен от нуля и составляет половину энергии кванта hw.

Получающиеся конечные ряды u (x) называются полиномами Эрмита и обозначаются. Для нескольких значений n имеем:

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

и так далее. Коэффициенты в полиномах Эрмита для удобства выбраны так, что коэффициент при максимальной степени x равен. Все остальные коэффициенты b_k в ряду тогда определяются рекуррентной формулой, в которой l = 2 n +1:

. (3.63)

Можно привести замкнутую формулу для получения полиномов Эрмита

. (3.64)

Итак, полное решение уравнения Шредингера имеет вид:

. (3.65)

Коэффициенты C_n находятся стандартным образом из условия нормировки Подставив в интеграл выражение для одного из полиномов Эрмита из замкнутой формулы (3.64), получаем

Интеграл можно взять n раз по частям, при этом все свободные члены обращаются в нуль на бесконечности из-за убывания волновой функции. Тогда

Из (3.64) следует, что Теперь под интегралом остается только экспоненциальная функция, и интеграл представляет собой известный табличный интеграл Условие нормировки принимает вид:

, откуда. (3.66)

Волновые функции низших состояний:

Волновые функции с разными n ортонормированы

(3.67)

x

y _n

|y _n |²

|y _n |²

y _n

n =0

n =1

n =2

n =3

Рис.3.8. Спектр, волновые функции y _n и соответствующие им плотности вероятности одномерного квантового осциллятора.

Волновые функции y _n и соответствующие им плотности вероятности |y _n |² (пунктир) показаны на рисунке 3.8. Из решения видно, что имеются четные и нечетные состояния. Отметим, что с ростом энергии волновые функции и плотности вероятности имеют большое число осцилляций внутри “классически разрешенной” области. Причем возрастает амплитуда и вероятность находиться частице у границы потенциала. Это не удивительно, так как с ростом номера уровня распределение плотности вероятности приближается к классическому распределению вероятности нахождения частицы внутри такой ямы.

Дата добавления: 2014-01-07