Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками

Рассмотрим один из простейших случаев движения частицы вдоль оси x, когда одномерный потенциал

Стационарное уравнение Шредингера

(3.1)

для области внутри ямы принимает вид

. (3.2)

Преобразуем уравнение (3.2) к виду:

, (3.3)

В (3.3) мы ввели волновое число k

(3.4)

Поскольку вне “ямы” потенциальная энергия равна бесконечности, можно ввести “естественные” граничные условия

. (3.5)

Общее решение уравнения (4.4) удобно представить в виде:

. (3.6)

При x = 0, откуда следует, что коэффициент В = 0. При x = а,,, n = 1,2,3,... (Для значения n=0 волновая функция тождественно обращается в ноль).

Из (3.4) следует, что

. (3.7)

Мы получили условие квантования уровней энергии в потенциальной яме с бесконечными стенками, поскольку отличные от нуля решения имеются только для целых чисел n. Окончательно решение уравнения (3.3) имеет вид. Эти функции являются собственными функциями гамильтониана при данных граничных условиях. Постоянную А находим из нормировки Отсюда.

Замечание об импульсе. Внутри ямы гамильтониан и казалось бы, что мы имеем коммутатор оператора импульса с гамильтонианом равным нулю и получаем при этом, что энергия Е и импульс р одновременно измеримы. Однако, это не так. Собственная волновая функция импульса не удовлетворяет граничным условиям. Импульс только по модулю имеемет постоянное значение, но сам импульс р не имеет определенного значения.

В окончательном виде собственные функции и энергии:

(3.8)

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

E_n

a

x

|Y _n (x)|²

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

E_n

a

x

Y _n (x)

Легко построить графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n. При n = 1 имеем низшее (основное) значение энергии частицы.

Рис.3.1. Графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n.

Расстояния между соседними уровнями

(3.9)

Оценим расстояние между уровнями для нескольких случаев:

1) Атомы или молекулы находятся в сосуде с размерами а ~ 1 см. Масса молекулы m ~ 10^-23 г. Энергии квантованы, но расстояние между уровнями энергии

чрезвычайно мало. Для наших приборов они представляют практически сплошной спектр. Дискретность уровней никак не сказывается на движении молекул в таком сосуде;

2) В металле свободные или валентные электроны находятся в “потенциальной яме”, размеры которой пусть также порядка а ~ 1 см. Расстояния между уровнями при массе электронов m ~ 10^-27 г равны

и дискретность уровней по-прежнему не сказывается на движении электронов в металле;

3) Для электронов, находящихся в яме с размерами порядка размеров атома а ~ 10^-8 см, расстояние между уровнями весьма существенно

Рассмотрим теперь 3-х мерную прямоугольную яму с бесконечными стенками. Пусть размеры ямы равны: a, b, c. Внутри ямы потенциальная энергия равна нулю: U = 0 при 0 £ x £ a, 0 £ y £ b, 0 £ z £ c. На границах U = ¥. Движение частицы в яме происходит независимо вдоль осей x, y и z. Тогда волновая функция может быть представлена в виде произведения функций

(3.10)

При этом энергия равна сумме энергий движений по всем трем осям:

при n ₁, n ₂, n ₃ = 1, 2, 3,.... (3.11)

Когда размеры ямы: a, b, c соизмеримы, либо a = b (b = c), либо a = b = c возникают вырожденные уровни энергии, когда одному и тому же значению энергии соответствуют несколько состояний, описываемых различными функциями.

Дата добавления: 2014-01-07