Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Одномерная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками




Рассмотрим один из простейших случаев движения частицы вдоль оси x, когда одномерный потенциал

Стационарное уравнение Шредингера

(3.1)

для области внутри ямы принимает вид

. (3.2)

Преобразуем уравнение (3.2) к виду:

, (3.3)

В (3.3) мы ввели волновое число k

(3.4)

Поскольку вне “ямы” потенциальная энергия равна бесконечности, можно ввести “естественные” граничные условия

. (3.5)

Общее решение уравнения (4.4) удобно представить в виде:

. (3.6)

При x = 0, откуда следует, что коэффициент В = 0. При x = а,,, n = 1,2,3,... (Для значения n=0 волновая функция тождественно обращается в ноль).

Из (3.4) следует, что

. (3.7)

Мы получили условие квантования уровней энергии в потенциальной яме с бесконечными стенками, поскольку отличные от нуля решения имеются только для целых чисел n. Окончательно решение уравнения (3.3) имеет вид. Эти функции являются собственными функциями гамильтониана при данных граничных условиях. Постоянную А находим из нормировки Отсюда.

 

Замечание об импульсе. Внутри ямы гамильтониан и казалось бы, что мы имеем коммутатор оператора импульса с гамильтонианом равным нулю и получаем при этом, что энергия Е и импульс р одновременно измеримы. Однако, это не так. Собственная волновая функция импульса не удовлетворяет граничным условиям. Импульс только по модулю имеемет постоянное значение, но сам импульс р не имеет определенного значения.

 

В окончательном виде собственные функции и энергии:

(3.8)

n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
En
 
a
x
|Y n (x)|2
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
En
 
a
x
Y n (x)
Легко построить графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n. При n = 1 имеем низшее (основное) значение энергии частицы.

 

Рис.3.1. Графики энергии, волновых функций и плотности вероятности для различных значений n.

 

Расстояния между соседними уровнями

(3.9)

Оценим расстояние между уровнями для нескольких случаев:

1) Атомы или молекулы находятся в сосуде с размерами а ~ 1 см. Масса молекулы m ~ 10-23 г. Энергии квантованы, но расстояние между уровнями энергии

 

чрезвычайно мало. Для наших приборов они представляют практически сплошной спектр. Дискретность уровней никак не сказывается на движении молекул в таком сосуде;

2) В металле свободные или валентные электроны находятся в “потенциальной яме”, размеры которой пусть также порядка а ~ 1 см. Расстояния между уровнями при массе электронов m ~ 10-27 г равны

 

и дискретность уровней по-прежнему не сказывается на движении электронов в металле;

3) Для электронов, находящихся в яме с размерами порядка размеров атома а ~ 10-8 см, расстояние между уровнями весьма существенно

 

 

Рассмотрим теперь 3-х мерную прямоугольную яму с бесконечными стенками. Пусть размеры ямы равны: a, b, c. Внутри ямы потенциальная энергия равна нулю: U = 0 при 0 £ x £ a, 0 £ y £ b, 0 £ z £ c. На границах U = ¥. Движение частицы в яме происходит независимо вдоль осей x, y и z. Тогда волновая функция может быть представлена в виде произведения функций

(3.10)

При этом энергия равна сумме энергий движений по всем трем осям:

при n 1, n 2, n 3 = 1, 2, 3,.... (3.11)

Когда размеры ямы: a, b, c соизмеримы, либо a = b (b = c), либо a = b = c возникают вырожденные уровни энергии, когда одному и тому же значению энергии соответствуют несколько состояний, описываемых различными функциями.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 535; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.