Статистическая физика

С.М.Дунаевский

ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

Печатается по решению издательского

совета факультета электроники.

С.М.Дунаевский

Лекции квантовой механике и статистической физике. Статистическая физика. Учебное пособие.

Данное пособие представляет собой вторую часть расширенного конспекта лекций по курсу квантовой механики и статистической физики, который читается в весеннем семестре студентам третьего курса факультета электроники Санкт-Петербургского Государственного Электротехнического Университета (“ЛЭТИ”) им. В. И. Ульянова (Ленина). В пособии изложены основные законы и приведены выводы необходимых формул классической и квантовой статистической физики.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава1. Статистические распределения.

§1.1. Введение. Термодинамический и статистический подходы.

§. 1.2.Основные понятия теории вероятностей.

§.1.3. Среднее значение случайных величин. Флуктуации.

§1.4.Биномиальное распределение молекул в объеме.

§1.5. Статистическое распределение. Квазизамкнутость.

§1.6.Фазовое пространство. Функция распределения.

§1.7. Функция распределения по энергиям.

§1.8.Энтропия.

Глава 2. Распределение Гиббса.

§2.1.Канонический ансамбль. Распределение Гиббса.

§2.2.Распределение Максвелла и его свойства.

§2.3. Распределение Больцмана и его свойства.

Глава 3. Квантовые статистические распределения.

§3.1. Статистическая сумма. Большой канонический ансамбль.

§3.2. Идеальный газ Бозе - Эйнштейна.

§3.3. Идеальный газ Ферми - Дирака.

§3.4. Статистический оператор (матрица плотности) и корреляционные функции.

Литература.

Глава1. Статистические распределения.

§1.1. Введение. Термодинамический и статистический подходы.

Статистическая физика изучает движение больших совокупностей молекул. В природе мы постоянно сталкиваемся с телами, состоящими из колоссального числа атомов и молекул. Так в 1 см³ воздуха при нормальных условиях содержится 2.7×10¹⁹ молекул, а в 1 см³ жидкости (твердого тела)» 10²² см^-3. Под макроскопическими телами понимаются тела, состоящие из очень большого числа молекул. Молекулы или атомы находятся в непрерывном (броуновском) движении. Энергия, связанная с этим движением, является внутренней энергией тела.

Известно, что материальные тела состоят из атомов или молекул. После появления квантовой механики выяснилось, что атом - сложная система, состоящая из электронов и ядра, и имеющая дискретную энергетическую структуру. Попытки описания свойств макротел на основании известных законов движения каждого отдельного атома или молекулы оказываются несостоятельными. Представим модель: молекулы - твердые шары, которые взаимодействуют только при непосредственном столкновении друг с другом, а между столкновениями движутся по прямым линиям. Положения (координаты) и скорости всех частиц в момент времени t дают наиболее полную информацию о системе частиц. Однако вся эта информация превосходит возможности любых технических средств, не говоря уже об обработке. Так в 1 см ³ содержится примерно 2.7×10¹⁹ молекул, т.е. надо запомнить 6×2.7×10¹⁹ чисел. Если будем фиксировать 10⁶ чисел в секунду, то время необходимое для “запоминания” 6×2.7×10¹³ с» 5×10⁶ лет. Но даже если бы удалось запомнить ее, то малейшая неточность в определении координат (например, погрешность ~10^-10), через секунду привела бы к неопределенности дальнейшего развития. Очевидно, что такое динамическое описание неосуществимо с технической, непригодно с теоретической и бесполезно с практической точек зрения.

Эксперимент показывает, что свойства газа не зависят от начальных условий. В результате столкновений в системе устанавливается состояние равновесия, макроскопические характеристики (P, V, T) которого не зависят от времени t. Термодинамика позволяет найти общие закономерности при установлении равновесия в газах и телах. В ней не делается выводов о скорости приближения тел к равновесию (этим занимается физическая кинетика), но определяется направление протекания процессов.

Статистическая физика занимается изучением хаотического теплового движения атомов и молекул, основанным на представлениях теории вероятностей. Общий характер статистических закономерностей несущественно зависит от классического или квантового описания движения отдельной молекулы.

§. 1.2. Основные понятия теории вероятностей.

Случайные события - обычное явление в жизни (бросаем монету, кубик (кости), упал на голову кирпич и т.д.). Случайными событиями могут быть координаты и скорости отдельных частиц. Вероятность случайного события можно определить как отношение “положительного” результата к полному числу испытаний при достаточно большом их числе. Это частотное определение вероятности. Рассмотрим, для примера, бросание кубика. Вероятность выпадения какого-либо числа i равна

. (1.1)

В силу равно вероятности выпадения каждой грани. Сумма вероятностей всех событий всегда должна равняться единице

(условие нормировки)

(1.2)

Для молекулы в сосуде объемом V можно рассмотреть вероятность того, что частица попадет в элемент объема D V. Для этого в течение длительного периода t будем измерять положение частицы через промежутки времени D t. Тогда число измерений равно. Пусть за время t частица проводит внутри малого объема D V время t_i, тогда число “положительных“ измерений будет равно, а вероятность того, что частица находится в D V, -. Если время наблюдения достаточно велико, то время пребывания t_i ~ D V, а.

Если случайная величина (координата частицы) принимает дискретный ряд значений x _a (a =1,2,3,...), то, где N _a - число измерений, при которых найдено значение x _a, N - полное число измерений, t _a - время, которое частица проводит в состоянии x _a.

Однако, если учитывать непрерывное распределение координат, то тогда бессмысленно говорить о вероятности нахождения частицы точно в точке x, т.к. она имеет размерность нуль и в ней частица находится бесконечно малое время. В этом случае следует говорить о вероятности того, что частица находится в интервале от x до x + dx. Время t_x, которое частица проводит в интервале координат от x до x + dx, пропорционально малому интервалу dx, и тогда вероятность попадания в этот интервал

(1.3)

Здесь r(x) - плотность вероятности распределения случайной величины.

Для частицы в объеме V плотность вероятности. Если производится N измерений, то число измерений dN, дающих попадание частицы в бесконечно малый объем dV, равно (под N в будущем будем понимать число частиц в объеме, которые независимы друг от друга):

,

а в конечный объем V ₁ -.

Вероятность попасть в конечный объем равна,.

Теорема сложения вероятностей.

Пусть мы имеем дискретный набор случайных величин, характеризующих состояние системы. Допустим, что система находится либо в состоянии a, либо в состоянии b. Времена нахождения системы в этих состояниях обозначим t _a и t _b соответственно. Тогда вероятность системе попасть в состояния a или b есть

(1.4)

Выражение (1.4) есть теорема сложения вероятностей для двух взаимоисключающих событий.

Исходя их этого, формируется условие нормировки вероятностей:

,

т.к. сумма по всем возможным состояниям, или по всем временам, дает единицу. Для непрерывного распределения x -.

Теорема умножения вероятностей.

Рассмотрим 2 независимые физические системы, состояния которых характеризуются наборами величин L и M. Системы называются статистически независимыми, если вероятность того, что система 1 находится в состоянии a со значением L _a, никак не зависит от вероятности того, что система 2 находится в состоянии b со значением M _b. Найдем вероятность того, что 1-ая система в состоянии a, а вторая - в состоянии b:

, (1.5)

где N _ab - число измерений, когда в результате получаем одновременно L _a и M _b. Нетрудно получить число измерений, когда в системе 1 получено значение L _a, -. Из них только доля этих измерений дают у системы 2 значение M _b, поэтому. Таким образом, получаем теорему умножения вероятностей для статистически независимых систем

(1.6)

Пример 1. Бросаем 2 кубика и интересуемся вероятностью выпадения у одного кубика “6”, а у второго - “5”. Имеем. Если нам безразличен порядок выпадения этих чисел, то.

Пример 2. Рассмотрим 2 молекулы в объеме D V. Вероятность оказаться в этом объеме равна.

§.1.3. Среднее значение случайных величин. Флуктуации.

Определим среднее значение случайных величин или математическое ожидание. Пусть некоторая физическая величина L имеет дискретный ряд значений: L ₁, L ₂, L ₃,… с соответствующими вероятностями: P₁, P₂, P₃,...их появления. Часто удобно знать не все наборы значений и их вероятности, а среднее значение -. Среднее значение определяется, как:

. (1.7)

Среднее значение любой функции от L равно:

(1.8)

Для непрерывных величин имеем (например, координаты x):

(1.9)

где интегрирование проводится по всем возможным значениям x.

Свойства средних значений.

1) Пусть имеем две различные функции от случайной величины f (L) и j(L). Тогда среднее значение от суммы равно

(1.10)

2) Если С постоянная, то

(1.11)

3) Пусть f (L) функция L, а j (M) функция другой случайной величины M, тогда

(1.12)

Если переменные L и M описывают две статистически независимые системы, то вероятности перемножаются и

(1.13)

Флуктуация - отклонение от среднего значения. Флуктуация характеризует, как часто состояние системы отклоняется от своего среднего значения.

(1.14)

Поскольку отклонения от среднего значения могут быть различными, то удобнее характеризовать их тоже средней величиной. Но для этого определение (1.14) не годится, поскольку среднее значение от него равно нулю:

. Поэтому берут не само отклонение D L, а квадрат флуктуации и рассматривают среднюю квадратичную флуктуацию величины L

(1.15)

Очевидно, что

(1.16)

Часто флуктуации характеризуют так называемой дисперсией, определяемой как квадратный корень из средней квадратичной флуктуации

(1.17)

Относительная квадратичная флуктуация определяется выражением

(1.18)

§1.4. Биномиальное р аспределение молекул в объеме.

Пусть N молекул находятся в объеме V. Выделим объем V ₁ в объеме V. Будем интересоваться макросостоянием, когда в объеме V ₁ находится n частиц, а в оставшемся объеме (V - V ₁) находится (N - n) молекул. Вероятность того, что одна молекула находится в V ₁, равна V ₁/ V. Вероятность, что две частицы находятся в объеме V ₁, равна. Вероятность того, что n частиц в V ₁: -. Остальные (N - n) молекул должны быть в оставшемся объеме (V - V ₁), т.е. нужно учесть вероятность того, что они попали в этот объем, которая равна

Итак, полная вероятность такого “микросостояния”

(1.19)

Введем понятие статистического веса (W), т.е. числа способов, которым реализуется данное макросостояние из различных микросостояний. Так как макросостояние газа не зависит от перестановок частиц, то

(1.20)

Итак, полная вероятность данного макросостояния равна

(1.21)

Введем обозначения

,. (1.22)

Полученное распределение вероятностей

(1.23)

называется биномиальным распределением. Название произошло от сходства с алгебраическим биномом Ньютона:

Свойства биномиального распределения:

1) По определению, p + q = 1,

2) Ясно, что вероятность состояния с очень малыми n или (N - n) при фиксированных V ₁ и V очень мала, так как при этом или, или.

В общем случае нас интересуют достаточно большие N и n, когда переход от вероятности к вероятности осуществляется непрерывным образом. Иначе говоря, мы полагаем, что dn = 1 мала по сравнению с N. Возьмем теперь разность вероятностей двух соседних состояний и приравняем ее нулю, чтобы найти максимум вероятности:

(1.24)

Из равенства нулю выражения в скобках имеем:,.

Так как N >> 1 и n >> 1, получаем

. (1.25)

Поскольку - концентрация молекул в объеме, то наиболее вероятное состояние осуществляется тогда, когда число молекул в объеме V ₁ равно

n = n ₀ V ₁, т.е. когда осуществляется равномерное распределение молекул по всему объему. Такое состояние называется стационарным или равновесным.

Определение: равновесным состоянием системы является ее наиболее вероятное состояние.

Схематически картина распределения вероятности при достаточно больших значениях числах частиц N и n выглядит как показано на рисунке (дискретные точки соединены сплошной линией) в виде острого максимума в окрестности n _вер c очень маленькой шириной D n. Условие нормировки может быть записано

Если за газом наблюдать достаточно большое время, то окажется, что более вероятные распределения молекул возникают чаще, чем менее вероятные. Поэтому с течением времени газ именно и переходит в наиболее вероятные состояния, причем, достигнув наиболее вероятного состояния, газ в нем практически и остается. Существенно, что равновесное состояние газа не зависит от предыстории (или начального состояния), т.е. от “пути”, которым газ шел к равновесию. Независимость от предыстории и постоянство во времени свойств газа в равновесии имеют своим следствием то, что равновесный газ можно описать небольшим числом макроскопических величин, характеризующих газ в целом (для идеального газа - P, V, T).

Итак, вероятность того, что число частиц в объеме V ₁ отклонится даже незначительно от n _max, ничтожна и быстро убывает с величиной отклонения. Но, тем не менее, число молекул в V ₁ не всегда строго равно n _max, а колеблется (флуктуирует) около этой величины.

Дата добавления: 2014-01-07