Основные понятия теории случайных процессов

Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития.

Теория случайных процессов (в другой терминологии - теория случайных функций) представляет собой сравнительно новый раздел теории вероятностей, особенно бурно развивающийся в последние десятилетия в связи со всерасширяющимся кругом его практических приложений.

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта неопределенность (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Приведем несколько примеров таких процессов.

1. Напряжение в электросети, номинально постоянное и равное 220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг номинала под влиянием таких случайных факторов, как количество и вид включенных в сеть приборов, моменты их включений и выключений и т. д.

2. Население города (или области) меняется с течением времени случайным (не предсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция и т. д.

3. Уровень воды в реке (или в водохранилище) меняется во времени случайным образом в зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий и т. д.

4. Частица, совершающая броуновское движение в поле зрения микроскопа, меняет свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости.

5. Происходит полет космической ракеты, которую необходимо вывести в заданный момент в заданную точку пространства с заданными направлением и абсолютным значением вектора скорости. Фактическое движение ракеты не совпадает с расчетным из-за таких случайных факторов, как турбулентность атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в отработке команд и т. д.

6. ЭВМ в ходе работы может случайным образом переходить из состояния в состояние, например:

S₁ - работает исправно;

S₂ - имеется неисправность, но она не обнаружена;

S₃ - неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника;

S₄ - ремонтируется и т. д.

Переходы из состояния в состояние происходят под действием случайных факторов, таких как колебания напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя отдельных элементов, момент обнаружения неисправностей, время их устранения и т. д.

Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь (пример: процесс обращения планет вокруг Солнца). Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль (пример: вышерассмотренный процесс броуновского движения частицы). Между двумя крайними случаями лежит целый спектр процессов, в которых случайность играет большую или меньшую роль. Учитывать (или не учиты­вать) случайность процесса зависит также и от того, какую практическую задачу мы решаем. Например, при составлении расписания движения самолетов между двумя пунктами можно считать их траектории прямолинейными, а движение - равномерным; те же допущения не подойдут, если решается задача конструирования автопилота для управления полетом самолета.

Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций (случайных процессов).

Прямая задача (анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).

Обратная задача (синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечений и других дисциплин.

Дата добавления: 2014-01-07