Давление идеального газа

Давление в сосуде с газом создается ударами молекул о его стенку. Будем считать удары абсолютно упругими. Сначала рассмотрим удар одной молекулы (см. рис. 1.2). Ось, перпендикулярную стенке, обозначим за х.

стенка при ударе о нее молекулы испытывает зависящую от времени силу F_х (t), которая направлена по оси х и при этом изменяется от нуля до некоторой максимальной величины в момент наиболее сильного контакта молекулы со стенкой и спадает опять до нуля после столкновения (см. рис. 1.3).

Рис. 1.2.	Рис. 1.3

Выберем некоторый интервал времени Т, который существенно превышает длительность столкновения и рассчитаем среднюю действующую в интервале от 0 до Т силу. Эта средняя сила определяется интегралом

Записав второй закон Ньютона в виде

для среднего значения получим выражение

Выберем теперь на стенке сосуда некоторую площадку S и учтем, что молекул много. Тогда имеем сумму

(1.6)

где индекс i нумерует все молекулы, налетающие за время T на площадку S.

Проблема вычисления суммы (1.6) состоит в том, что от молекулы к молекуле проекции скорости v_x хаотически меняются. Эту проблему можно решить, если разбить все молекулы на подансамбли молекул, обладающие близкими значениями проекций скорости v_x. Иными словами, из всех молекул, налетающих за время T на площадь S, выберем только те, которые имеют скорость в интервале от v_x до v_x. + dv_x. Число таких молекул обозначим через dN (v_x, T, S). Так как молекулы данного подансамбля подлетают к стенке из примыкающего к ней объема величины то для dN (v_x, T, S) имеем

(1.7)

где n – введенная в (1.3) плотность. Разбиение на подансамбли позволяет рассматривать v_x как непрерывную переменную и перейти в (1.6) от суммирования к интегрированию. Одним словом, вместо (1.6) теперь записываем

из этого выражения, используя (1.5), получим

(1.8)

(Коэффициент 2 исчезает, потому что положительные значения скорости v_x имеет только половина молекул). Давление на стенку определяется средней силой, действующей на единицу площади. из (1.8) получаем

(1.9)

Далее, по теореме Пифагора имеем

(1.10)

а из условия равной вероятности всех направлений следует

(1.11)

Поэтому вместо (1.9) для давления можно написать

(1.12)

Таким образом, давление пропорционально плотности газа и средней кинетической энергии молекул.

Дата добавления: 2014-01-07