Температура и кинетическая энергия

Как известно из механики, движение двух частиц с массами m ₁ и m ₂ (см. рис. 1.4) можно разложить на движение их общего центра масс со скоростью

(1.13)

и относительное движение частиц со скоростью

(1.14)

Скорости частиц выражаются через скорости следующим образом:

(1.15)

где

(4.16)

есть скорости движения в системе центра масс, есть приведенная масса. Отметим, что в системе центра масс суммарный импульс или

Рис. 1.4.

Пусть две частицы в ходе движения сталкиваются. Скорости после столкновения обозначим как и в лабораторной системе координат, и , в системе центра масс. Согласно закону сохранения импульса скорость движения системы центра масс при столкновении частиц не изменится, суммарный импульс в этой системе отсчета останется равным нулю, т. е. . С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что кинетическая энергия частиц до столкновения должна равняться кинетической энергии после столкновения, Отсюда сразу заключаем, что абсолютные значения импульсов частиц в результате столкновения не меняются (могут измениться только их направления).

В случае одномерного движения вдоль некоторого направления – пусть им будет ось х – этот результат означает, что

(1.17)

Тогда с использованием (1.15) для лабораторной системы имеем

(1.18)

Теперь рассмотрим сосуд с газом, разделенный подвижной перегородкой (поршнем) (см. рис. 1.5). Поршень способен без трения перемещаться в направлении х.

Рис. 1.5.

Массу молекулы газа обозначим через m, массу поршня через М, скорость некоторой выбранной молекулы вдоль направления х обозначим через v_x, скорость поршня в некоторый момент времени обозначим через V. Рассмотрим столкновение выбранной молекулы с поршнем. Скорости после соударения, как и в предыдущем случае, будем обозначать соответствующими величинами со штрихами. Так как эта задача одномерная, здесь можно воспользоваться результатами (1.18). Возведем обе части второго из уравнений (1.18) в квадрат, приведем к общему знаменателю и, используя новые обозначения, получим

(1.19)

Усредним теперь обе части равенства (1.19) по всем молекулам в системе. В условиях равновесия средние значения скорости поршня до соударения и после должны быть одинаковы, Действительно, моменты времени до соударения с некоторой конкретной молекулой и после него ничем не выделены. Далее, так как движение поршня при большом количестве соударений с разными молекулами и движение конкретной молекулы не коррелируют между собой, то среднее значение произведения распадается на произведение средних значений Поршень в равновесии не сдвигается ни вправо ни влево, то есть равно нулю. Тогда из (1.19) получаем

Отсюда сразу следует, что Это означает равенство средней кинетической энергии молекул и поршня:

(1.20)

(с учетом (1.10)).

пусть теперь поршень разделяет смесь двух газов слева и справа, массы молекул одного и другого газа m ₁ и m ₂. Для этой системы справедливы все проведенные выше рассуждения. Тогда

(1.21)

Таким образом, средние энергии молекул обоих типов равны между собой.

Пусть теперь слева и справа у нас разные газы. Все проведенные выше рассуждения остаются опять справедливыми, и равенство (1.21) здесь также будет иметь место.

Мы видим, что при контакте двух разных газов средние кинетические энергии их молекул оказываются одинаковыми. Из опыта известно, что при контакте тел у них выравниваются температуры. Поэтому введем температуру следующим образом:

(1.22)

где k = 1,38∙10⁻¹⁶ эрг/град – постоянная Больцмана. Численное ее значение оказывается таким, чтобы разница температур замерзания и кипения воды равнялась 100 градусам. Подчеркнем, что возможность связать температуру с кинетической энергией появляется именно в силу доказанного нами соотношения (1.22). Отметим, что в этом доказательстве мы использовали только законы механики и принцип молекулярного хаоса.

Связанная с (1.22) шкала температур называется шкалой Кельвина, температура в ней указывается в градусах Кельвина. Она связана с температурой в известной шкале Цельсия соотношением

Полный нуль температуры в шкале Кельвина соответствует полному вымораживанию движений.

Из (1.11) и (1.22) следует, что средние кинетические энергии движения вдоль разных осей есть

(1.23)

Дата добавления: 2014-01-07