Вогнутые и выпуклые функции

Функция f(x), определяется на выпуклом множестве называют вогнутой, если для любых векторов x1 и и любого числа , выполняется неравенство

На рис 3.1 эти определения иллюстрируются для функции одной переменной.

Геометрически вогнутость функции f(x) означает, что отрезок, соединяющий любые две точки поверхности, которую задает эта функция в пространстве , лежит на этой поверхности или ниже нее:

Если же выполняется противоположное неравенство, т. е.

то функция f(x) называется выпуклой.

На рис. 3.2 изображена выпуклая функция одной переменной. Очевидно, что если f(x) – выпуклая функция, то – f(x) является вогнутой.

Если неравенство (2) является строгим (при ), то говорят, что f(x) – строго вогнутая функция. Геометрически это означает, что отрезок, соединяющий любые две точки поверхности, заданный уравнением z = f(x), лежит ниже этой плоскости.

Связь между выпуклыми множествами и выпуклыми функциями раскрывается в следующем утверждении: для того, чтобы функция f(x), определенная на выпуклом множестве X, была выпуклой (вогнутой), необходимо и достаточно, чтобы ее надграфик

был выпуклым множеством.

При определении вогнутости (выпуклости) функции не требовалось, чтобы функция была непрерывной или дифференцируемой.

Если же функция f(x) дифференцируема и вогнута, то справедлива теорема, которую приведем без доказательств.

Дата добавления: 2014-01-07