Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Теорема 1.

Для любых x¹, имеет место неравенство

Напомним, что в (3) , a’y – скалярное произведение n-векторов a и y.

Напомним, что квадратичной формой от n переменных x1, x2,..., xn называют однородный многочлен f(x) второй степени от x1, x2,..., xn, т. е.

где .

Квадратичную форму (4) можно записать также в виде

(4’)

где , а

Говорят, что квадратичная форма (4’)

положительна определена, если ;

отрицательно определена, если ;

неопределенная, если она может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Справедлив следующий критерий Сильвестра для установления того, является ли данная квадратичная форма положительно или отрицательно определенной: квадратичная форма (4’) положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры, составленные из элементов матрицы A, т. е.

положительны и отрицательно определена в том случае, когда главные миноры матрицы A нечетного порядка меньше нуля, а четного порядка больше нуля.

Замечание 4. Пусть задана функция нескольких переменных , которая определена имеет частные производные до второго порядка включительно по всем переменным в точке и ее окрестности. Матрицу

называют матрицей Гессе в точке x⁰. Она представляет матрицу дифференциала второго порядка , который является квадратичной формой относительно приращений где вторые производные вычислены в точке x⁰.

Дата добавления: 2014-01-07