Теорема 2. Условия экстремума первого порядка

Условия экстремума первого порядка.

Безусловный максимум функции многих переменных.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке . Если x* - локальное решение задачи

то в точке x* равны нулю все частные производные:

или

.

Доказательство. Пусть функция имеет, например, максимум в точке . Допустим, что меняется только переменная xj, а остальные переменные, т. е. . Тогда функция z будет функцией одной переменной xj, т. е.

Функция имеет максимум при и следовательно

Имеем

Отсюда и из (7) имеем

,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 дает необходимые условия максимума (минимума) функции f(x) в точке x0, где . Точку x0 – называют стационарной. Для вогнутой функции эти условия и достаточны.

Дата добавления: 2014-01-07