Модели детерминированных сигналов

Характеристики линейной электрической цепи и их связь с функциями цепи.

Функции линейной электрической цепи.

Модели детерминированных сигналов.

Тема 4. Использование преобразования Лапласа для анализа цепей. Передаточная функция цепи

Любая линейная электрическая цепь полностью характеризуется ее откликом (реакцией) у (t) на некоторый пробный сигнал х (t), выбранный таким образом, что с его помощью может быть представлен произвольный входной сигнал f (t) линейной комбинацией (например, суммированием или перемножением) множества подобных х (t) элементарных сигналов. Это дает возможность использовать при анализе линейных цепей принцип суперпозиции (наложения), который гласит: отклик линейной цепи на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое из этих воздействий в отдельности.

Поскольку параметры пробного сигнала х (t) заведомо известны, то такой сигнал называют детерминированным. Для целей анализа электрических цепей используют несколько моделей детерминированных сигналов (пробных сигналов). При этом вид пробного сигнала выбирают взависимости от используемого метода анализа цепи. Так при использовании метода комплексных амплитуд в качестве пробного применяют сигнал в виде гармонической функции времени , а входной сигнал f (t) любой формы представляют рядом Фурье или интегралом Фурье.

Наряду с гармоническими пробными сигналами в радиотехнике широко применяют сигналы в виде дельта-функции и единичного скачка.

Дельта-функция (d-функция, единичная импульсная функция Дирака) – это функция, удовлетворяющая следующим условиям:

а)

б) .

График функции d(х – х ₀) (а также функции d(х), когда сдвиг функции по оси х равен нулю – х ₀ = 0) показан на рисунке 1.

Рисунок 1

Как следует из определения, d-функция представляет собой импульс бесконечно малой длительности (t _и ® 0) и бесконечно большой амплитуды, площадь которого равна единице. Она обладает рядом важных свойств, одно из которых математически можно сформулировать следующим образом:

.

Как следует из полученного соотношения, умножение любой подынтегральной функции f (x) на функцию d(х – х ₀) позволяет приравнять интеграл произведения значению функции f (x) в точке х = х ₀ (фильтрующее свойство d-функции).

При использовании d-функции в качестве пробного сигнала, входной сигнал f (t) представляют сверткой с d-функцией, то есть

.

Примечание. Под сверткой понимают математическую операцию, обозначаемую символом «*» и преобразующую две функции одного аргумента f ₁(x), f ₂(x) в третью функцию f (x) следующим образом:

.

Геометрическая интерпретация свертки представлена на рисунке 2.

В геометрическом смысле свертка двух функций является зависимостью площади (на рисунке 2 – заштрихована) под кривой произведения одной из них (например, f ₁(z)) на обращенную и сдвинутую на величину х другую (например, f ₂[–(z – x)] = f ₂(x – z)) от величины сдвига х.

Рисунок 2

Единичный скачок (функция включения, единичная функция Хевисайда) – это функция 1(х – х ₀) (рисунок 3), удовлетворяющая условию:

Рисунок 3

Основные свойства единичного скачка:

а) свертка с производной произвольной функции f (x) равна

;

б) свертка с произвольной функцией равна

.

При использовании единичного скачка в качестве пробного сигнала, входной сигнал f (t) представляют сверткой с 1(t), то есть используют первое свойство функции единичный скачок.

Каждому из рассмотренных пробных сигналов соответствует своя разновидность функции цепи, описывающая ее в частотной (операторной) или временной областях.

Дата добавления: 2014-01-07