Распределение по длинам пробега, средняя длина свободного пробега

Каждая конкретная молекула из-за молекулярного хаоса от столкновения к столкновению пробегает разный путь, который определяется набором случайных факторов. Из-за большого количества молекул правомерен вопрос о наличии непрерывной функции, характеризующей распределение молекул по длинам свободного пробега – так же, как и в рассмотренном выше случае распределения по скоростям движения. Получить эту функцию можно из довольно простых рассуждений.

Пусть W (x) – вероятность того, что молекула пролетит расстояние x, не испытав столкновения. пролет без столкновения расстояния x + dx, очевидно, состоит из двух независимых событий: пролета без столкновения отрезков длиной x и dx. Вероятность столкновения на отрезке dx из-за его малости пропорциональна его длине, то есть она равна adx, где а – некий коэффициент пропорциональности (пока неизвестный). Вероятность того, что столкновения на отрезке dx не будет, есть 1 – adx. В результате имеем

Отсюда

Интегрируя полученное уравнение, находим:

Константу здесь надо приравнять нулю из-за условия W (0) = 1. Тогда получим ответ в виде

(5.5)

Введем вероятность dP (x) того, что столкновение произойдет на интервале от х до х + dx. Эта вероятность определяется также условием, что в интервале от 0 до х столкновений не было. Тогда получим

Решение этого уравнения

(5.6)

Средняя длина свободного пробега вычисляется как

(5.7)

Таким образом, величина a является величиной, обратной средней длине свободного пробега, так что

(5.8)

Плотностью вероятности столкновений (функцией распределения по длинам пробега) соответственно является

(5.9)

Наряду с распределением по длинам пробега (5.9), можно написать с учетом соотношения x = vt распределение по временам пробега

(5.10)

где t – среднее время пробега.

Дата добавления: 2014-01-07