Відстані та кути між двома прямими

Відстань між двома прямими (паралельними чи мимобіжними) вимірюється спільним перпендикуляром до прямих. У натуральну величину

відстань між прямими проекціюється, якщо спільний перпендикуляр між прямими паралельний якійсь площині проекцій. Між паралельними прямими відстань проекціюється у натуральну величину, якщо обидві прямі є проекціювальними, тобто перпендикулярними до якоїсь площини проекцій (рис. 2.20, а), або площина, у якій перебувають обидві прямі, є площиною рівня тобто паралельна якійсь площині проекцій (рис. 2.20, б).

Відстань між двома мимобіжними прямими проекціюється без спотворення на площину проекцій, якщо одна із прямих перпендикулярна до цієї площини проекцій (рис. 2.20, в), або, якщо площина паралелізму даних мимобіжних прямих перпендикулярна до площини проекцій (рис. 2.20, г). Нагадаємо, що площина паралелізму мимобіжних прямих – це площина,

Рис. 2.20

яка паралельна обом цим прямим. Через будь-яку точку простору можна провести лише одну площину, паралельну двом мимобіжним прямим. Відстань між мимобіжними прямими вимірюється спільним перпендикуляром до цих прямих. Кінці цього перпендикуляра – це точки, які належать мимобіжним прямим і віддалені одна від одної на найкоротшій відстані. На рис. 2.20, г на фронтальній проекції проведено у довільному місці перпендикуляр 1₂2₂ між проекціями m₂ i n₂. За лінією зв’язку побудована проекція 2₁ точки 2 і через неї проведена горизонтальна проекція 1₁2₁ перпендикуляра 12 між уявними фронтально проекціювальними площинами, яким належать прямі m i n. Проекція 1₁ точки 1 побудована за лінією зв’язку 1₂1₁. Через точку 1₁ проведено відрізок 1₁M₁ прямої проекції n₁ прямої n. Через проекцію M₁ проведено відрізок M₁N₁ паралельно відрізку 1₁2₁. Точки M(M₁, M₂) і N(N₁, N₂) – це точки прямих m i n, які розташовані на найкоротшій відстані одна від одної.

Будь-який кут (гострий, тупий чи прямий) між двома прямими (такими, що перетинаються чи мимобіжними) на будь-яку площину може спроекціюватись у будь-який кут (гострий, тупий чи прямий) або, навіть, у пряму лінію залежно від положення сторін кута щодо цієї площини проекцій. Якщо сторони будь-якого кута, паралельні площині проекцій, то на цю площину такий кут проекціюється без спотворення (рис. 2.21). Нагадаємо, що кут між двома мимобіжними прямими Рис. 2.21

вимірюється кутом між двома

прямими, що перетинаються, паралельними відповідно даним мимобіжним прямим.

Якщо хоча б одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, а друга не перпендикулярна до неї, то на цю площину прямий кут проекціюється без спотворення, тобто у прямий кут (рис. 2.22).

Доведемо це твердження. Хай сторона ВС прямого кута АВС паралельна площині П₁, а сторона

АВ не перпендикулярна цій площині. Тоді В₁С₁||ВС, а сторона ВС перпендикулярна до проекціювальної площини АВВ₁, оскільки вона перпендикулярна до прямих Рис. 2.22 Рис. 2.23

АВ і ВВ₁. Отож вона перпендикулярна до будь-якої прямої цієї площини, у тому числі і до прямої А₁В₁ - ВС^А₁В₁. Оскільки В₁С₁|| ВС, то В₁С₁ ^ А₁В₁, що і необхідно було довести.

Приклад. Із точки А опустити перпендикуляр на пряму ВС, яка паралельна площині П₁ (рис. 2.23).

Від проекції А₁ точки А проводимо перпендикуляр до проекції В₁С₁ прямої ВС. Основа перпендикуляра К(К₁) - це точка його перетину з

прямою ВС. За лінією зв’язку знаходимо фронтальну проекцію К₂ точки К і сполучаємо її з точкою А₂.

Якщо необхідно визначити відстань від точки А до прямої ВС, то слід визначити дійсну довжину перпендикуляра АК, наприклад, способом прямокутного трикутника, як це показано на рис. 2.8, 2.9.

Проте гострий чи тупий кут між двома прямими може спроекціюватися без спотворення і в разі, якщо жодна із цих прямих не паралельна площині проекцій (рис. 2.24). Наприклад, гострий кут BAC, сторони AB i AC якого належать двом проекціювальним площинам Г і Δ, проекціюється у кут BDC. У цей самий кут проекціюється і тупий BAE, сторони якого належать відповідно тим самим проекціювальним площинам. Величини кутів BAC i Рис. 2.24

BAE можуть змінюватися від 0˚ до 180˚. Очевидно

серед цих величин може виявитися і кут, величина якого дорівнює куту BDC.

Дата добавления: 2014-01-07