Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора линейного пространства

Определение 7.Пусть в линейном пространстве V выполняются следующие условия:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Тогда число n называется размерностью пространства V. Если пространство состоит из одного элемента, то её размерность положим равной 0.

Обозначается размерность (от англ. dimension – размерность).

Определение 8. Пространство V размерности n будем называть n-мерным пространством.

Определение 9. Базисом n -мерного пространства называется любой упорядоченный набор из n линейно независимых векторов.

Теорема 12.2. Если – базис n-мерного пространства V, то любой вектор этого пространства линейно выражается через векторы , т. е.

.

Пусть . Тогда система из n + 1 вектора линейно зависима, т. е. .

Число , т. к. иначе получилась бы нетривиальная комбинация векторов равная нулю. Выражаем вектор из этого уравнения:

, что и требовалось доказать.

Теорема 12.3. Если – система линейно независимых векторов пространства V и любой вектор этого пространства линейно выражается через , то пространство V является n-мерным.

Пример 6.В пространстве из примера 1 базис образуют три вектора . Они линейно независимы, и каждый вектор линейно выражается через них. Следовательно, размерность пространства равна трём.

Пусть заданы два линейных пространства V и . Если между элементами этих пространств установлено взаимнооднозначное соответствие, причём соответствует , то пишут .

Определение 10.Два линейных вещественных пространства V и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие так, что если , , то , где – вещественное число.

Теорема 12.4. Два линейных вещественных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Дата добавления: 2014-01-07