Координаты вектора

Теорема 12.5. Если – базис линейного пространства, то для любого вектора этого пространства существует единственная система чисел такая, что .

Из теоремы 12.2 следует существование такой системы , что выполняется. Докажем единственность. Допустим, что существует другая система , такая, что . Тогда .

Группируя слагаемые, получим

.

Отсюда следует, что , поскольку векторы линейно независимы. Теорема доказана.

.

Выражение называется разложением вектора по базису . Это выражение можно записать в матричной форме

Числа называются координатами вектора в базисе .

Если вектор имеет в некотором базисе координаты , то пишут .

Пример 7. Пусть V - пятимерное линейное пространство с базисом . Найти координаты векторов и .

, т.е. имеет координаты (2,0,-1,3,0).

Аналогично = (0,0,1,0,0).

Справедливы следующие утверждения:

1. Вектор является нулевым вектором пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2. Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат этих векторов в том же базисе.

3. Координаты произведения вектора на число в некотором базисе равны произведению соответствующих координат данного вектора в том же базисе на это число.

4. Два вектора равны между собой тогда и только тогда, когда равны между собой их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

Дата добавления: 2014-01-07