Матрицы и операции над ними

Лекция 1.

Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов

коротко матрицу обозначают так:

где элементы данной матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n -го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Если m= 1 и n > 1, то получаем однострочную матрицу

которая называется вектор-строкой, если, же m >1 и n =1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор-столбцом.

Две матрицы и равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех i и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

1°. Суммой двух матриц A =(a_ij) и B =(b_ij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C =(c_ij), элементы которой определяются равенством

Сумму матриц обозначают C = A + B.

Пример.

.

2⁰. Произведением матрицы A =(a_ij) на число λ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ:

λA = λ (a_ij)=(λa_ij), (i =1,2…,m; j =1,2…,n).

Пример.

3⁰. Произведением матрицы A =(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B =(b_ij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица C =(c_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A и j -го столбца матрицы B, то есть

При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B = C.

Пример.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*B и B* A, в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример. Пусть , , тогда согласно правилу умножения матриц имеем

=

и

,

откуда заключаем, что

и

Возникает вопрос, можно ли для квадратной матрицы А подобрать некоторую матрицу, такую что умножив на нее матрицу А в результате получить единичную матрицу Е, такую матрицу называют обратной к матрице А. Ответ на этот вопрос мы дадим на лекции 9.

Дата добавления: 2014-01-07