Предел функции. Основные теоремы о пределах

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относятся пять классов функций: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.

Лекция 15

Число А называется пределом числовой последовательности { х_n }, если для любого >0 существует номер N=N( )>0, такой, что для всех п>N выполняется неравенство | х_п—A |<. Если А – предел последовательности { х_n }, то это записывается следующим образом

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х ₀. Тогда число А называется пределом функции у = f (х) при х х ₀ (в точке х = х ₀), если для любого >0 существует =()>0, такое, что при 0 <| х—х ₀|<справедливо неравенство | f (х)- А |<.

Если А – предел функции f (х) при х х ₀, то записывают это так

В самой точке х ₀ функция f (х) может и не существовать (f (х ₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N = N ()>0, такое, что при | х|>N выполняется неравенство | f (х) -А| <.

Если существует предел вида , который обозначают также или f (х ₀ - 0), то он называется пределом слева функции f (х) в точке x ₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи или f (x ₀+0)), то он называется пределом справа функции f (х) в точке x ₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х) в точке x ₀ необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x ₀ существовали и были равны, то есть f (x ₀-0)=f(x ₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i =1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х ₀ =.

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида -, , и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.

Дата добавления: 2014-01-07