Производная. Правила и формулы дифференцирования

Напомним, что приращением функции у = f (х) называется разность , где - приращение аргумента х.

Из рисунка видно, что (1).

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции у=f (х)в точке х и обозначается одним из следующих символов: у ', f '(х), .

Рис. 1.

Таким образом, по определению

(2)

Если указанный в формуле (2) предел существует, то функцию f (х) называют дифференцируемой в точке х, а операцию нахождения производной у ' – дифференцированием.

Из равенства (1) и определения производной, (см. формулу (2)) следует, что производная в точке х равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке М (х, у), к графику функции у = f (х) (см. рис. 1).

Легко показать, что с физической точки зрения производная у '= f '(х) определяет скорость изменения функции в точке х относительно аргумента х.

Если С — постоянное число и и=и(х), v=v (x) – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (С)'=0;

2) (х)'.=1;

3) (и v)'= и ' v ';

4) (С и)'= С и '

5) (и v) '=и' v+иv';

6) ;

7) ;

8) если у = f (и) и u =(х), т. Е. y = f ((x)) – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9) если для функции у = f (х) существует обратная дифференцируемая функция х=g(у) и , то f '(х) =.

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

1)	2) ()' = lnа•u'
3) (е ^u)'=е ^u u '	4)
5)	6) (sin u)’= соs uu ’
7) (соs u)’=-sin u u ’	8)
9) ;	10) (arcsin u)'=
11)	12)
13)

Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке М о(х ₀; f(х ₀))

Уравнениe нормали к кривой у = f (х) в точке М о(х ₀; f (х ₀)):

При f ^/(х ₀)=0 уравнение нормали имеет вид х = х ₀.

Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым в этой точке.

Логарифмической производной функции у = f (х) называется производная от логарифма этой функции, т. Е.

(ln f (x))’= f ’(x)/ f (x).

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях предварительное логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной. Например, при нахождении произ­водной функции у=и^v, где и=u(х), v=v(х), предварительное логарифмирование приводит к формуле

у =и^v ln и v' + v и ^{v -1} и'.

Если зависимость между переменными у и х задана в неявном виде уравнением F (х, у)=0, то для нахождения производной у' =в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения F (х, у)=0, считая у функцией от х, и из полученного уравнения, линейного относительно у ', найти производную.

Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.

Производной второго порядка или второй производной функции у = f (х) называется производная от ее первой производной, т. Е. (у ')'. Обозначается вторая производная одним из следующих символов: у», f ''(х), .

Если s = s (t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то s '=- скорость, а s»= - ускорение этой точки.

Если зависимость функции у от аргумента х задана в параметрическом виде уравнениями х = х(t), у=у(t), то:

(3)

где штрих обозначает производную по t.

Производной n -го порядка функции у=t(х) называется производная от производной (n -1)-го порядка данной функции. Для n -й производной употребляются следующие обозначения: у⁽ⁿ⁾, f ⁽ⁿ⁾ (х), . Таким образом,

.

Дифференциалом первого порядка функции у = f (x) называется главная, часть ее приращения, линейно зависящая от приращения независимой переменной х. Дифференциалфункции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной поэтому –справедливо равенство

Из рисунка видно, что если МN - дуга графика функции МТ – касательная, проведенная к нему в точке М (х, у), и то CT = dy, а отрезок Дифференциал функции dy отличается от ее приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с

Непосредственно из определения дифференциала и правил нахождения производных имеем:

1)

2) если х – независимая переменная;

3)

4)

5)

6)

7)

Дифференциалом n -го порядка функции у = f (х) называется дифференциал от дифференциала (n -1)-го порядка этой функции, т. Е. dⁿy = d (d^{n -1} y).

Если дана функция у=f (х), где х – независимая переменная, то d²у= у»dх², d³у=у'»dх³, …, dⁿу= y⁽ⁿ⁾dxⁿ.

Если у=f (u), где u=(x), то d²y=y^//(du)²+y^/d²u, где дифференцирование функции y выполняется по переменной и. (Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.)

Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с величиной dх, то или , откуда .

Полученная формула часто применяется для приближенного вы­числения значений функции при малом приращении независимой переменной х.

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешность аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции у = f (х) при некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам неизвестна, но дано его приближенное значение x ₀ с абсолютной погрешностью : х= x ₀+ dх, Тогда

Отсюда видно, что=Относительная погрешность функции выражается формулой

=

Лекция 18

Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма,

Дата добавления: 2014-01-07