Несобственные интегралы.

Геометрические приложения определенного интеграла.

1) Вычисление площадей плоских фигур.

Если .

Если .

Если .

Если .

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически, то есть

, тогда .

2) Вычисление длин друг кривых.

Пусть кривая L задана явно, то есть , , тогда длина .

Если L задана параметрически , то .

3) Вычисление объемов тел вращения.

Пусть , . Будем вращать кривую вокруг оси 0X, тогда объем тела, полученного при вращении кривой, вычисляют по формуле

.

Если же кривую , вращать вокруг оси 0Y, то

.

Рассмотрим . Функция определена на конечном промежуткеи ограничена на нем. Если нарушается хотя бы одно из двух требований, то мы имеем дело с несобственным интегралом.

1. Пусть нарушается требование конечности чисел a и (или) b. При этом возможны случаи:

1) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке , где.

Несобственным интегралом первого рода называется и обозначается , то есть (1).

Если предел в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и его значение равно пределу правой части. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

2) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном промежутке ,

Несобственный интеграл первого рода в этом случае определяется по формуле (2).

3) пусть определена на и интегрируема на каждом конечном отрезке этого интервала, тогда (3), причем несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (3). Если хотя бы один из них расходится, то расходится интеграл в левой части.

Замечание. Если первообразная функции на , тогда справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница , где , .

Пример.

2. Пусть нарушается требование ограниченности функции .

1) Пусть функция непрерывна на и , тогда (4).

2) Если непрерывна на и , тогда (5).

Интегралы в левой части равенств (4) и (5) называются сходящимися, если в правой части этих равенств предел существует и конечен и значение несобственного интеграла равно пределу правой части. Если в правой части равенств (4) и (5) пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы в левой части этих формул называются расходящимися.

3) Если непрерывна на и , тогда (6).

Интеграл в левой части равенства (6) называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части этой формулы; и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части этой формулы.

Пример. Установить сходимость интеграла .

Так как и , то есть расходится, и потому данный интеграл расходится.

Дата добавления: 2014-01-07