Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими

ЧАСТИНА 1

Комплексні числа.

Визначення. Комплексним числом z називається вираз, де a і b – дійсні числа, i – уявна одиниця, що визначається співвідношенням:

При цьому число a називається дійсною частиною числа z (a = Re z), а b - уявною частиною (b = Im z).

Якщо a =Re z =0, то число z буде чисто уявним, якщо b = Im z = 0, то число z буде дійсним.

Визначення. Два комплексних числа й називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні й уявні частини:

Визначення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна й уявна частини.

Поняття комплексного числа має геометричне тлумачення. Множина комплексних чисел є розширенням множини дійсних чисел за рахунок включення множини уявних чисел. Комплексні числа містять у собі всі множини чисел, які вивчалися раніше. Так натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа є, загалом кажучи, окремими випадками комплексних чисел.

Якщо будь-яке дійсне число може бути геометрично представлене у вигляді точки на числовій прямій, то комплексне число представляється точкою на площині, координатами якої будуть відповідно дійсна й уявна частини комплексного числа. При цьому горизонтальна вісь буде дійсною числовою віссю, а вертикальна – уявною віссю.

у

A (a, b)

r b

j

О a x

Таким чином, на осі Ох розташовуються дійсні числа, а на осі Оу – чисто уявні.

За допомогою подібного геометричного подання можна представляти числа в так званій тригонометричній формі.

Тригонометрична форма комплексного числа.

З геометричних міркувань видно, що. Тоді комплексне число можна представити у вигляді:

Така форма запису називається тригонометричною формою запису комплексного числа.

При цьому величина r називається модулем комплексного числа, а кут нахилу j – аргументом комплексного числа.

.

З геометричних міркувань видно:

Очевидно, що комплексно спряжені числа мають однакові модулі й протилежні аргументи.

Дії з комплексними числами.

Основні дії з комплексними числами випливають із дій з багаточленами.

1) Додавання й віднімання.

2) Множення.

У тригонометричній формі:

,

З випадку комплексно - сполучених чисел:

3) Ділення.

У тригонометричній формі:

4) Піднесення до степеня.

З операції множення комплексних чисел треба, що

У загальному випадку одержимо:

,

де n – ціле додатне число.

Цей вираз називається формулою Муавра. (Абрахам де Муавр (1667–1754) – англійський математик)

Формулу Муавра можна використати для знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного й т.д. кутів.

Приклад. Знайти формули і.

Розглянемо деяке комплексне число

Тоді з однієї сторони.

По формулі Муавра:

Дорівнюючи, одержимо

Оскільки два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні й уявні частини, то

Одержали відомі формули подвійного кута.

5) Добування кореня з комплексного числа.

Підносячи до степеня, одержимо:

Звідси:

Таким чином, корінь n -го степеня з комплексного числа має n різних значень.

Показникова форма комплексного числа.

Розглянемо показову функцію

Можна показати, що функція w може бути записана у вигляді:

Дана рівність називається рівнянням Ейлера. Висновок цього рівняння буде розглянутий пізніше.

Для комплексних чисел будуть справедливі наступні властивості:

1)

2)

3) де m – ціле число.

Якщо в рівнянні Ейлера показник степеня прийняти за чисто уявне число (х= 0), то одержуємо:

Для комплексно спряженого числа одержуємо:

З цих двох рівнянь одержуємо:

Цими формулами користуються для знаходження значень ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.

Якщо представити комплексне число в тригонометричній формі:

і скористаємося формулою Ейлера:

Отримана рівність і є показниковою формою комплексного числа.

Розклад багаточлена на множники.

Визначення. Функція вигляду f(x) називається цілою раціональною функцією від х.

Теорема Безу. (Етьєн Безу (1730–1783) – французький математик)

При діленні багаточлена f(x) на різницю x – a виходить остача, рівна f(a).

Доведення. При діленні багаточлена f (x) на різницю x – a часткою буде багаточлен f ₁(x) степеня на одиницю меншого, ніж f (x), а остачею – стале число R.

Переходячи до границі при х ® a, одержуємо f (a) = R.

Наслідок. Якщо, а – корінь багаточлена, тобто f (a) = 0, то багаточлен f (x) ділиться на (х – а) без остачі.

Визначення. Якщо рівняння має вигляд Р (х) = 0, де Р (х) – багаточлен степеня n, то це рівняння називається алгебраїчним рівнянням ступеня n.

Теорема. (Основна теорема алгебри) Усяка ціла раціональна функція f (x) має, принаймні, один корінь, дійсний або комплексний.

Теорема. Усякий багаточлен n-го степеня розкладається на n лінійних множників вигляду (x – a) і множник, що дорівнює коефіцієнту при xⁿ.

Теорема. Якщо два багаточлени тотожно рівні один одному, то коефіцієнти одного багаточлена дорівнюють відповідним коефіцієнтам іншого.

Якщо серед коренів багаточлена зустрічаються кратні коріння, то розклад на множники має вигляд:

k_i – кратність відповідного кореня.

Звідси випливає, що будь-який багаточлен n-го степеня має рівно n коренів (дійсних або комплексних).

Ця властивість має велике значення для розв’язання алгебраїчних рівнянь, диференціальних рівнянь і відіграє важливу роль в аналізі функцій.

Розгляньмо кілька прикладів дій з комплексними числами.

Приклад. Дано два комплексних числа. Потрібно а) знайти значення виразу в алгебраїчній формі, б) для числа знайти тригонометричну форму, знайти z ²⁰, знайти корінь рівняння

a) Очевидно, справедливе наступне перетворення:

Далі виконуємо ділення двох комплексних чисел:

Одержуємо значення заданого виразу: 16(–i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

б) Число представимо у вигляді, де

Тоді.

Для знаходження скористаємося формулою Муавра.

Якщо, то

Лінійна алгебра.

Основні визначення.

Визначення. Матрицею розміру m ´ n, де m – число рядків, n – число стовпців, називається таблиця чисел, розташованих у певному порядку. Ці числа називаються елементами матриці. Місце кожного елемента однозначно визначається номером рядка й стовпця, на перетині яких він перебуває. Елементи матриці позначаються a_ij, де i – номер рядка, а j – номер стовпця.

А =

Основні дії над матрицями.

Матриця може складатися як з одного рядка, так і з одного стовпця. Загалом кажучи, матриця може складатися навіть із одного елемента.

Визначення. Якщо число стовпців матриці дорівнює числу рядків (m = n), то матриця називається квадратною.

Визначення. Матриця вигляду:

= E,

називається одиничною матрицею.

Визначення. Якщо a_mn = a_nm, то матриця називається симетричною.

Приклад. – симетрична матриця

Визначення. Квадратна матриця виду називається діагональною матрицею.

Додавання й віднімання матриць зводиться до відповідних операцій над їхніми елементами. Найголовнішою властивістю цих операцій є те, що вони визначені тільки для матриць однакового розміру. Таким чином, можливо визначити операції додавання й віднімання матриць:

Визначення. Сумою (різницею) матриць є матриця, елементами якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

c_ij = a_ij ± b_ij

C = А + В = В + А.

Операція множення (ділення) матриці будь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (ділення) кожного елемента матриці на це число.

a (А ± В) =a А ± a В

А (a±b) =a А ± b А

Приклад. Дано матриці А =; B =, знайти 2 А + В.

2 А =, 2 А + В =.

Дата добавления: 2014-01-07