Принятие решений в условиях неопределенности

Критерий предельного уровня

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий.

Пример 3. Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задается непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери.

Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала A₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала A₂ единиц. Иными словами, пусть I — искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемый дефицит = ∫(x-I)f(x)dx ≤ A₁,

ожидаемые излишки = ∫(I-x)f(x)dx ≤ A₂.

При произвольном выборе A₁ и A₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Пусть, например,

f(x) = 20/x², 10≤x≤20,

f(x) = 0, x≤10 и x≥20.

Тогда

∫(x-I)f(x)dx = ∫(x-I)(20/x²)dx = 20(ln(20/I) + I/20 – 1)

∫(I-x)f(x)dx = ∫(I-x)(20/x²)dx = 20(ln(10/I) + I/10 – 1)

Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln(I) - I/20 ≥ ln(20) – A₁/20 – 1 = 1,996 - A₁/20

ln(I) - I/10 ≥ ln(10) – A₂/20 – 1 = 1,302 - A₂/20

Предельные значения A₁ и A₂ должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I.

Например, если A₁ = 2 и A₂ = 4, неравенства принимают вид

ln(I) - I/20 ≥ 1,896

ln(I) - I/10 ≥ 1,102

Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17)

I
ln(I) - I/20	1,8	1,84	1,88	1,91	1,94	1,96	1,97	1,98	1,99	1,99	1,99
ln(I) - I/10	1,3						1,17	1,13	1,09	1,04	0,99

Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи.

Будем предполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумный противник.

Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы — возможным состояниям системы.

Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

Е₁ — выбор размеров из соображений максимальной долговечности;

Е_m — выбор размеров из соображений минимальной долговечности;

E_i — промежуточные решения.

Условия требующие рассмотрения таковы:

F₁ — условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

F_n — условия, обеспечивающие min долговечность;

F_i — промежуточные условия.

Под результатом решения e_ij = е(E_i; F_j) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту E_i и условиям F_j и характеризующие прибыль, полезность или надежность. Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения.

Тогда семейство (матрица) решений ||e_ij|| имеет вид:

	F1	F2	...	Fn
E1	e11	e12	...	e1n
E2	e21	e22	...	e2n
...	...	...	...	...
Em	em1	em2	...	emn

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений ||e_ij|| сводится к одному столбцу. Каждому варианту E_i приписывается, т.о., некоторый результат e_ir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом e_ir.

Классические критерии принятия решений

Дата добавления: 2014-01-07