Модифицированный метод Эйлера

Задача Коши.

Основные положения численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Для решения ОДУ численными методами существуют алгоритмы, позволяющие находить первообразную на интересующем нас интервале аргумента, т.е. говорят о границе решения (левая, правая).

Пример. Решение ОДУ:

Говорят, что задача Коши – это решение ДУ при соответствующих начальных условиях задачи.

Для задачи Коши существует достаточно большое число алгоритмов нахождения , но все они подразделяются на одношаговые и многошаговые.

В многошаговых методах используется информация не только в -ой точке, но и в ряде предыдущих точек, вычисленных ранее. Но, поскольку, решается задача Коши для многошаговых методов приходиться рассчитывать начальные точки по одношаговому алгоритму.

Для решения задачи Коши пользователь назначает требуемую точность решения. Если требуемая точность достаточно высока, то возможен случай, когда компьютер решения вовсе не найдёт.

Ни один численный алгоритм решения ОДУ не может обеспечить точность решения, стремящуюся к аналитическому решению.

В численном решении всегда существует два типа ошибок: ошибка округления и ошибка дискретизации. Большинство методов используют представление искомой функции либо в виде рядов, либо в виде специальных функций, но это представление всегда конечно. Если используются алгоритмы рядов, то всегда можно оценить (приближённо) ошибку дискретизации и назначить соответствующий шаг интегрирования.

В ходе решения ОДУ подразделяют ошибки в решении на локальную и глобальную. Локальная – ошибка при вычислении конкретного решения в какой-то точке. В сумме все локальные ошибки приведут к накоплению глобальной ошибки, поэтому при решении не надо «увлекаться» и расширять интервалы интегрирования.

5.1.1 Решение ОДУ методом Эйлера и уточнённым методом Эйлера

Представим искомую функцию в виде ряда Тейлора, предполагая, что она гладкая.

Любое ДУ (даже высокого порядка) с помощью преобразования и подстановки может быть приведён к виду

Метод Эйлера самый простой одношаговый метод им можно пользоваться для гладких функций.

подставив вторую производную в ряд Тейлора, после преобразований получим формулу модифицированного метода Эйлера:

Задание на лабораторную работу №3

№1

Для ДУ найти первообразную и, восстановив её на интервале , оценить локальные и глобальные ошибки в методе Эйлера при различном шаге интегрирования .

Оценить минимальный шаг интегрирования , обеспечивающий глобальную ошибку не более .

№1

Выполнить задание №1 модифицированным методом Эйлера. Сопоставить два метода при равном шаге интегрирования.

Ввести в программы интегрирования программы оценки времени работы процессора. Сравнить методы.

5.2 Специальные методы решения ОДУ. Методы прогноза – коррекции (предиктор–корректор).

Существует специальные алгоритмы решения задачи для ОДУ, называемые методами предиктора-корректора. Для этого различные авторы (Адамс, Башфорт, Хемминг и др.) разработали численные алгоритмы (на базе представления функций в рядах), с помощью которых выполняется двухтактовая процедура. По формулам предиктора проводится оценка исходной функции, а по формулам корректора эта функция уточняется. Процесс организован до достижения требуемой точности.

Дата добавления: 2014-01-07