Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия

Пусть – область -мерного пространства точек , . Наиболее общее уравнение в частных производных -го порядка от независимых переменных может быть записано в следующем виде

, (1)

где , – неизвестная функция, – заданная функция от своих аргументов. Здесь называется областью задания уравнения (1).

Примеры:

1) – уравнение 1-го порядка;

2) – уравнение 2-го порядка;

3) – уравнение 3-го порядка, .

Таким образом, уравнение в частных производных называется уравнением - го порядка, если оно содержит хотя бы одну частную производную - го порядка и не содержит производных более высокого порядка.

Определенная в области задания уравнения (1) функция , непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество по независимым переменным , называется классическим решением или просто решением дифференциального уравнения (1).

Если размерность пространства равна 2, т.е. , то в дальнейшем будем писать , . Если , то будем полагать, что , , .

Уравнение в частных производных (1) называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производных.

Линейное уравнение 1-го порядка можно написать в следующем виде

, (2)

где и – заданные в области функции переменных . При этом функции , , …, , называются коэффициентами, а – правой частью или свободным членом линейного д.у. в ч.п.(2).

Линейное д.у. в ч.п. 2-го порядка может быть записано так:

, (3)

где – заданные в области функции, которые называются коэффициентами уравнения, – заданная в области функция и называется свободным членом и правой частью уравнения (3).

Если в д.у. в ч.п. (2) и (3) функция , то они называются однородными. Если , то д.у. в ч.п. (2) и (3) называются неоднородными.

Дата добавления: 2014-01-07