П.2. Формула Пуассона

Преобразуем ряд (10) с учетом выражений (14) и (15):

. (17)

Учитывая формулу Эйлера

,

найдем сумму ряда

. (18)

Тогда, подставляя (18) в (17), найдем формулу

, (19)

которая называется формулой Пуассона и она определяет решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в единичном круге .

Для круга произвольного радиуса решение задачи Дирихле получается из формулы (19) заменой на :

,

где , , – длина дуги окружности . Отсюда имеем

. (20)

Формула (20) определяет решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге со значениями на окружности

, . (21)

Подынтегральное выражение

называют ядром Пуассона. Ядро Пуассона обладает следующими свойствами:

1^о при , так как ;

2^о при и ;

3^о функция внутри круга имеет произ-водные любого порядка и является гармонической.

Отметим, что функция (20) получена при условии, что . Формула (20) задает решение задачи Дирихле в произвольном круге при более слабых условиях на гладкость граничной функции , т.е. достаточно непрерывности функции на сегменте . Действительно, в силу свойства 3^о ядра интеграл (20) при всех допускает почленное дифференцирование по и любое число раз, так как полученные при этом интегралы равномерно сходятся на любом замкнутом круге . Следовательно, функция , определенная формулой (20) при непрерывной функции , имеет производные любого порядка в круге . Поскольку оператор Лапласа от функции тождественно равен нулю при , то функция является гармонической в круге при всякой непрерывной функции .

Теперь остается доказать, что функция , определенная равенствами (20) и (21), непрерывна на замкнутом круге , т.е. надо показать справедливость предела

, . (22)

Для этого рассмотрим последовательность функций из класса , равномерно сходящуюся на сегменте к заданной непрерывной функции . По данной последовательности функций построим по формуле Пуассона (20) гармонические в круге функции

,

удовлетворяющие граничному условию

, .

По следствию 5 §18 последовательность сходится равномерно на замкнутом круге и поэтому предельная функция

непрерывна на , что и означает справедливость предела (22).

Итак, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если функция и , то существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в произвольном круге и это решение определяется формулой Пуассона (20).

Дата добавления: 2014-01-07