П.1. Решение задачи Дирихле в круге

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

в круге методом разделения переменных. Формула Пуассона

Рассмотрим уравнение Лапласа

(1)

в круге с границей (см. рис. 4).

Задача Дирихле. Найти в области функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

, (2)

, , (3)

, , (4)

где – заданная достаточно гладкая функция, – угол между осью и радиусом-вектором , .

Для решения поставленной задачи (2) – (4) применим метод разделения переменных. В дальнейшем будем предполагать, что функция на сегменте непрерывна и имеет на этом сегменте непрерывную первую производную, т.е. .

Рис. 4

В области перейдем к полярным координатам , , , . Тогда уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

. (5)

Решение уравнения (5) будем искать в виде произведения двух функций

в . (6)

Подставив выражение (6) в уравнение (5), получим

.

Поделив на , имеем

. (7)

Левая часть равенства (7) зависит только от , а правая только от . Поэтому равенство (7) возможно только тогда, когда левая и правая части представляют собой одну и ту же константу . Тогда уравнение (7) распадается на два обыкновенных д.у.:

, (8)

. (9)

Поскольку , то из (6) следует, что , т.е. функция является периодической с периодом . Это возможно только в том случае, когда , и общее решение д.у. (8) определяется по формуле

,

где и – произвольные постоянные.

Уравнение (9) при имеет два линейно независимых решения

, .

Поскольку ищется непрерывное в решение, то в качестве решения уравнения (9) следует взять функцию . Тогда на основании (6) найдем

.

Таким образом, найдены частные решения уравнения (5) в круге , которые являются гармоническими в при каждом .

Если , то решением уравнения (5) является функция . Для удобства возьмем , тогда решение задачи Дирихле в круге будем искать в виде суммы

. (10)

Пусть последовательности и ограничены. Обозначим через . Тогда ряд (10) при любых , где – фиксированное положительное число, мажорируется сходящимся числовым рядом

.

Тогда на основании признака Вейерштрасса ряд (10) сходится равномерно на любом замкнутом круге . Поэтому сумма ряда (10) непрерывна на замкнутом круге . Отсюда в силу произвольности числа следует, что функция непрерывна в круге .

Ряд (10) внутри круга допускает почленное дифференцирование по переменным и любое число раз, так как полученные при этом ряды для всех мажорируются сходящимися числовыми рядами типа (11).

Действительно, из ряда (10) формальным почленным дифференцированием раз составим ряды:

, (11)

. (12)

Ряд (11) при мажорируется сходящимся числовым рядом

.

А ряд (12) оценивается также сходящимся числовым рядом

.

Следовательно, ряды (11) и (12) равномерно и абсолютно сходятся в замкнутом круге . Поэтому суммы рядов (11) и (12) непрерывны в .

Если теперь подставить ряды, полученные из (11) при и и ряд (12) при в уравнение (5), то убеждаемся, что функция , определенная рядом (10), является его решением внутри круга .

Таким образом, ряд (10) внутри круга является гармонической функцией. Пусть ряд (10) сходится равномерно на замкнутом круге . Тогда удовлетворяя ряд (10) граничному условию (4), получим

. (13)

Ряд (12) представляет собой разложение в ряд Фурье функции на промежутке . Тогда коэффициенты и определяются по формулам:

, , (14)

, . (15)

Если функция непрерывна на сегменте и имеет там непрерывную первую производную, то ряд (13) равномерно сходится на сегменте к самой функции , при этом ряд (13) мажорируется сходящимся числовым рядом

. (16)

Поскольку для любого ряд (10) мажорируется рядом (16), то на основании признака Вейерштрасса ряд (10) равномерно и абсолютно сходится на . Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если функция и , то существует единственное решение задачи Дирихле в круге , которое определяется рядом (10). Коэффициенты и ряда (10) находятся соответственно по формулам (14) и (15).

Дата добавления: 2014-01-07