Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Разложение функций в степенные ряды

1.1. Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно, для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

 

, (1.1)

 

где , – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде , где . Формулу (1.1) можно кратко записать в виде

 

где – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки х0, и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

(1.2)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

 

(1.3)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . Так, например, функция

имеет в точке производные всех порядков, причем при всяком n.

Ряд Маклорена имеет вид

.

Он сходится, но его сумма в любой точке х равна нулю, а не .

Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема 1. Для того, чтобы ряд Тейлора (1.2) функции сходился к в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (1.1) стремился к нулю при , т. е. чтобы .

Пусть ряд Тейлора (1.2) сходится к функции в некоторой окрестности точки , т. е. . Так как n- я частичная сумма ряда (1.2) совпадает с многочленом Тейлора , т. е. , находим

 

Обратно, . Тогда

 

Замечание. Если ряд Тейлора (1.2) сходится к порождающей функции , то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е. . (Напомним, что а где – сумма ряда Тейлора).

Таким образом, задача разложения функции в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых (при ). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 2. Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом , то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т. е. имеет место разложение (1.2).

Согласно теореме 1, достаточно показать, что . По условию теоремы 2 для любого n имеет место неравенство . Тогда имеем

Осталось показать, что Для этого рассмотрим ряд

Так как

 

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда в силу необходимого признака сходимости,

 

Следовательно,

 

1.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции в ряд Маклорена (1.3) нужно:

а) найти производные

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать ряд (1.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

 

(1.4)

 

(1.5)

 

(1.6)

 

(1.7)

(1.8)

 

(1.9)

 

(1.10)

 

(1.11)

(1.12)

 

(1.13)

 

Докажем формулу (1.4). Пусть .

Имеем:

т. е. ряд сходится в интервале ;

г) для всех имеем т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 2 Таким образом,

Докажем формулу (1.5). Пусть .

 

 

Имеем:

Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех ;

любая производная функции по модулю не превосходит единицы,

 

Следовательно, по теореме 2 имеет место разложение (1.5).

 

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Так как , то заменяя х на в разложении (1.4), получим

.

 

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции

Решение. Так как

 

то, воспользовавшись формулой (1.9), в которой заменим х на , получим:

 

,

если

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Ряды Фурье для функций любого периода | Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1019; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.