Разложение функций в степенные ряды

1.1. Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т. е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно, для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

, (1.1)

где , – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде , где . Формулу (1.1) можно кратко записать в виде

где – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки х₀, и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

(1.2)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

(1.3)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции . Так, например, функция

имеет в точке производные всех порядков, причем при всяком n.

Ряд Маклорена имеет вид

.

Он сходится, но его сумма в любой точке х равна нулю, а не .

Пусть для функции составлен соответствующий ей ряд Тейлора.

Теорема 1. Для того, чтобы ряд Тейлора (1.2) функции сходился к в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (1.1) стремился к нулю при , т. е. чтобы .

Пусть ряд Тейлора (1.2) сходится к функции в некоторой окрестности точки , т. е. . Так как n- я частичная сумма ряда (1.2) совпадает с многочленом Тейлора , т. е. , находим

Обратно, . Тогда

Замечание. Если ряд Тейлора (1.2) сходится к порождающей функции , то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тейлора, т. е. . (Напомним, что а где – сумма ряда Тейлора).

Таким образом, задача разложения функции в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых (при ). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 2. Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точки одним и тем же числом , то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т. е. имеет место разложение (1.2).

Согласно теореме 1, достаточно показать, что . По условию теоремы 2 для любого n имеет место неравенство . Тогда имеем

Осталось показать, что Для этого рассмотрим ряд

Так как

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно,

1.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции в ряд Маклорена (1.3) нужно:

а) найти производные

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать ряд (1.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Докажем формулу (1.4). Пусть .

Имеем:

т. е. ряд сходится в интервале ;

г) для всех имеем т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 2 Таким образом,

Докажем формулу (1.5). Пусть .

Имеем:

Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех ;

любая производная функции по модулю не превосходит единицы,

Следовательно, по теореме 2 имеет место разложение (1.5).

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Так как , то заменяя х на в разложении (1.4), получим

.

Пример 2. Выписать ряд Маклорена функции

Решение. Так как

то, воспользовавшись формулой (1.9), в которой заменим х на , получим:

,

если

Дата добавления: 2014-01-07