Изогнутой оси

Вывод и решение дифференциального уравнения

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, рассмотренное ранее, имеет вид:

(26.2.1)

При изгибе балки на упругом основании, так же как и при изгибе балки на опорах, справедливы дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом (зависимости Журавского), т. е.

(26.2.2)

(26.2.3)

Заметим, что нагрузка положительна, если она направлена вверх.

Путем дифференцирования (26.2.3) с учетом (26.2.2) имеем:

(26.2.4)

Дифференцируя дважды уравнение (26.2.1), получаем:

(26.2.5)

или с учетом (26.2.4):

(26.2.6)

На рис. 26.1, б показана расчетная схема балки, лежащей на спло­шном упругом основании и нагруженной активной (заданной) отрицательной (действующей вниз) распределенной нагрузкой . Закон изменения известен. Он не зависит от изгиба балки. Действие упругого основания на балку заменено реактивной распределенной нагрузкой , которая зависит от величины прогибов. В правую часть уравнения (26.2.6) следует подставлять интенсивность результирующей распределенной нагрузки:

. (26.2.7)

С учетом (26.2.7) и (26.1.1) дифференциальное уравнение (26.2.6) принимает вид:

или

(26.2.7)

Это уравнение называют дифференциальным уравнением изогнутой оси балки, лежащей на сплошном упругом основании.

Если на балку действует сосредоточенное усилие, т. е. нет внешней распределенной нагрузки , и жесткость упругого основания то уравнение (26.2.7) можно записать так:

(26.2.8)

Здесь

(26.2.9)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (26.2.8) изогнутой оси балки на упругом основании будет:

(26.2.10)

где А, В, С, D – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий.

Если на балку действует известная распределенная нагрузка, то, как видно из (26.2.7), к решению (26.2.10) следует добавить частное решение, которое зависит от вида нагрузки, т. е. от .

Пример 26.1. Бесконечно длинная балка, лежащая на сплошном упругом основании, жесткость которого , изгибается сосредоточенной силой F (рис. 26.2, а).

Требуется составить выражения для .

Решение. Из условия симметрии относительно сечения, где действует сосредоточенная сила F, следует, что две полубесконечные половины балки изгибаются идентично, поэтому достаточно рассматривать изгиб одной ее половины, например, правой, заменив действие отброшенной части (левой) изгибающим моментом М _и0 и поперечной силой Q _о (рис. 26.2, б).

Совмещая начало координат с сечением, где приложена сила F, используем полученное решение (26.2.10) дифференциального уравнения (26.2.8):

Для определения произвольных постоянных интегрирования А, В, С и D используем граничные условия.

Очевидно, при удалении от начала координат (от места действия) прогиб и угол поворота уменьшается. Поэтому при ,

Как видно из (26.2.10), при положительном значении с ростом будут возрастать два последних члена, и тогда прогиб будет расти, но это противоречит условию .

Следовательно, произвольные постоянные интегрирования С и D должны быть равны нулю, т. е. С = 0, D = 0.

Тогда решение (26.2.10) приобретает более простой вид:

Для определения оставшихся двух постоянных интегрирования А и В используем начальные условия.

При х = 0 (в начале координат) угол поворота в силу симметрии равен нулю, т. е.

.

Также в силу симметрии при х = 0 поперечная сила .

Рис. 26.2

Дифференцируя решение уравнения, получим

При х = 0

,

т. к. из (26.2.9), то А – В = 0, откуда А = В.

Тогда уравнение прогибов имеет вид:

а уравнение углов поворота:

.

Для определения постоянной интегрирования А используем условие .

Для этого установим зависимость между прогибом и поперечной силой, используя дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Продифференцировав его, получаем:

или с учетом дифференциальных зависимостей Журавского:

Для определения третьей производной от по х продифференцируем дважды уравнение углов поворота.

Вторая производная

Третья производная

или

При х = 0 имеем .

Из граничных условий известно, что

,

тогда приравнивая правые части этих выражений, получаем

Теперь, зная постоянные интегрирования, можем записать искомые выражения:

– прогибов:

;

– углов поворота:

– изгибающих моментов:

– поперечных сил:

На рис. 26.2. а, б, в, г, д показаны изогнутая ось балки, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и эпюра углов поворота поперечных сечений.

Дата добавления: 2014-01-07