Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, при­чем вероятность события А в каждом испытании не за­висит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность.

Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которыхсобытие А имеет одну и ту же вероятность.

Ниже воспользуемся понятием сложного события, по­нимая под ним совмещение нескольких отдельных собы­тий, которые называют простыми.

Пусть производится л независимых испытаний, в каж­дом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность собы­тия А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления со­бытия А в каждом испытании также постоянна и равна

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится п—k раз.

Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие

испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следова­тельно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного слож­ного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит п — k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий

события несовместны, то по теореме сложения вероятно­стей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз со­бытия А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

или

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продол­жение одних суток не превысит установленной нормы, равна р-= 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электро­энергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р=0,75. Сле­довательно.вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Дата добавления: 2014-01-07