Шаг 4. Поворот вокруг оси z

Шаг 3. Поворот вокруг оси х.

На рис. 15 показан отрезок после шага 2.

Поворот производится на отрицательный угол В, для которого

cos(-B) = cosB = , sin(-B) = -sinB = ,

где

.

Результатом поворота на шаге 3 является:

,

т.е. теперь совпадает с отрицательной полуосью z.

На рис. 16 показаны и после шага 3, когда Р₂'' лежит на отрицательной полуоси z, а Р₃''' - в точке

Поворот производится на положительный угол С, для которого

cosC = y₃'''/D₂, sinC = x₃'''/D₂, D₂ = .

После шага 4 получается конечный результат.

Результирующая матрица

T(-x1,-y1,-z1)×Ry(A)×Rx(B)×Rz(C) = T×R

описывает искомое преобразование.

Рис. 16. Поворот вокруг оси z; проекция поворачивается до совмещения с осью у

Для построения матрицы поворотов можно воспользоваться другим, более простым в вычислительном плане способом, основанным на свойстве ортогональности матриц поворотов.

Верхняя подматрица размером 3´3 ортогональная матрица, составленная из трех векторов R_x = [ r_x1 r_x2 r_x3 ], R_y = [ r_y1 r_y2 r_y3 ] и R_z = [ r_z1 r_z2 r_z3 ], в которые будут преобразованы орты осей x, y и z соответственно.

Единичный вектор, который должен лечь вдоль оси Z

.

Здесь - длина вектора .

Вектор, перпендикулярный плоскости, построенной на векторах и , должен быть направлен вдоль оси x, так как вектор лежит вдоль оси z, а вектор лежит в плоскости yz. Этот вектор задается векторным произведением

Наконец, вдоль оси Y должен быть направлен вектор, перпендикулярный к векторам R_x и R_z:

Искомая матрица преобразования есть

Дата добавления: 2014-01-07