Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону

Теорема о трех силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трёх непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство. Перенесем силы и вдоль линий их действия в точку О в соответствии с аксиомой А 2. По аксиоме А 3 сложим эти силы. Т.к. тело находится в равновесии, то из аксиомы А 1 следует, что, и эти силы лежат на одной прямой.

Лекция 2
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Сложение сил. Пара сил и ее свойства. Понятие о моменте силы.
Плоская система сил. Приведение плоской системы сил к данному центру.
Условия равновесия плоской системы сил

Теорема. Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, равную по величине их алгебраической сумме, параллельную им и направленную в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая делит отрезок между точками приложения слагаемых сил на части, обратно пропорциональные этим силам внутренним образом.

Доказательство. Пусть на тело действуют две параллельные силы и. Соединим точки А и В отрезком прямой. Приложим к телу уравновешенную систему сил (,) ~ 0 и найдем равнодействующие и. Перенесем и в точку их пересечения О. Отметим, что (,) ~ (,). Разложим систему (,) на составляющие (,,,). Т.к. (,) ~ 0, отбросим её. Силы и направлены параллельно друг другу. Согласно аксиоме А 3, их сумма равна. Переносим силу вдоль ее линии действия в точку C на отрезке AB. Из подобия треугольников следует:

;.

Разделив эти выражения друг на друга, получим или.

Из свойств пропорции следует:, что и требовалось доказать.

Сложение двух параллельных сил,
направленных в противоположные стороны

Пусть на тело действуют две параллельные силы, направленные в разные стороны (антипараллельные) силы и, причём. В соответствии с аксиомой статики разложим на две параллельные силы, приложенные в точке В и силу, приложенную в точке С. Таким образом,.

;;;.

Т.к. (,) ~ 0, остаётся только сила.

Следовательно, система двух антипараллельных сил имеет равнодействующую, которая по величине равна разности этих сил, параллельна им и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая лежит на продолжении отрезка АВ, соединяющего точки приложения слагаемых сил, за большей силой и делит этот отрезок обратно пропорционально силам внешним образом.

Пара сил и её свойства

Пусть имеются равные антипараллельные силы, тогда; АС = ∞; ВС = ∞. Следовательно, точка С находится в бесконечности.

Система двух равных по величине параллельных и направленных в разные стороны сил называется парой сил (понятие ввел Франсуа Пуансо (1777 – 1859)).

Очевидно, что пара сил не имеет равнодействующей, следовательно, она не ведет к поступательному движению тела, а приводит тело во вращательное движение. Плоскость, в которой действует пара, называется плоскостью пары, расстояние между силами – плечом пары. Действие пары на тело зависит от величины сил, плеча и направления сил. Эта зависимость выражается в понятии момента.

Моментом пары называется вектор, величина которого равна взятому со знаком плюс или минус произведению одной из сил пары на плечо пары.

Будем считать: при знаке «+» момент направлен против часовой стрелки; при знаке «–» – по часовой стрелке. Размерность момента – Н·м.

Теорема. Не нарушая кинематического состояния тела, можно переносить пару в любое положение в плоскости её действия.

Доказательство. Пусть на тело действует пара (,). Произвольно на таком же плече А ₁ В ₁ возьмём две уравновешенные пары (,) и (,), эквивалентные нулю. Продлим их линии действия и сложим силы,,,.

Равнодействующие силы и равны по величине, направлены по одной линии (диагональ ромба) и противоположны. Остается система сил (,), эквивалентная (,). Т.к. точки A ₁ B ₁ выбирались произвольно, теорема доказана.

Теорема. Не изменяя действия данной пары на тело, можно силу и плечо пары изменять любым способом, но так, чтобы момент пары остался неизменным.

Дата добавления: 2014-01-07