Коэффициент восстановления при ударе

Общие теоремы теории удара

Теорема об изменении количества движения системы при ударе. Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Обозначим равнодействующую внешних ударных импульсов, приложенных в точке с массой т_К, через, а равнодействующую внутренних ударных импульсов – через. Тогда, используя уравнение (2), получим:

.

Составляя подобные уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим:

.

Суммы, стоящие слева, представляют собой количества движения системы в конце и начале удара, которые обозначим и. Стоящая справа сумма внутренних ударных импульсов по свойству внутренних сил равна нулю. Окончательно находим

, (3)

т.е. изменение количества движения системы за время удара равно сумме всех внешних ударных импульсов, действующих на систему.

В проекциях на оси координат уравнение (3) дает:

(4)

Если геометрическая сумма всех внешних ударных импульсов равна нулю, то, как видно из уравнения (3), количество движения системы за время удара не изменяется. Следовательно, внутренние ударные импульсы не могут изменить количества движения всей системы.

Для решения задач по теории удара основного уравнения (2) или вытекающих из него уравнений (3) и (4) оказывается недостаточным. Объясняется это тем, что величина ударного импульса, возникающего при соударении двух тел, зависит не только от масс и скоростей этих тел до удара, но и от упругих свойств. Для характеристики этих свойств в теорию удара вводится величина, называемая коэффициентом восстановления.

Рассмотрим шар, падающий вертикально и притом поступательно на неподвижную горизонтальную плиту. Для удара, который при этом произойдет, можно различить две стадии. В течение первой стадии скорости частиц шара, равные в момент начала удара V убывают до нуля. Шар при этом деформируется (плиту считаем абсолютно жесткой), и вся его начальная кинетическая энергия переходит во внутреннюю потенциальную энергию деформированного тела. Во второй стадии удара шар под действием внутренних упругих сил начинает восстанавливать свою форму при этом его внутренняя потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию движения частиц шара. Однако полностью механическая энергия шара при этом не восстанавливается, так как часть ее уходит на сообщение шару остаточных деформаций и его нагревание. Поэтому скорость шара и в конце удара будет меньше скорости V.

В рассмотренном случае скорость шара до удара была направлена по нормали к плите, такой удар называется прямым. Величина k, равная при прямом ударе тела о неподвижную преграду отношению модуля скорости тела в конце удара к модулю скорости в начале удара, называется коэффициентом восстановления при ударе:

. (5)

Значение коэффициента восстановления для разных тел определяется опытным путем. По данным опыта, при изменении скорости V не в очень больших пределах величина k зависит только от материала соударяющихся тел. Так как u< V, то для реальных тел k < 1.

В качестве предельного рассматривают случай абсолютно упругого удара (k = 1), при котором механическая энергия тела после удара полностью восстанавливается, и случай абсолютно неупругого удара (k = 0), когда удар заканчивается в первой стадии и вся механическая энергия тела расходуется на его деформацию и нагревание.

Дата добавления: 2014-01-07