Динамическое описание систем

Динамическая система - математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени.

Под процессом функционирования понимается изменение состояния системы под действием внутренних и внешних причин. При этом состояние системы в фиксированный момент времени представляет вектор наблюденных значений переменных (проявлений свойств).

ДС приписывается важное свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение. Фазовым пространством динамической системы называется множество всех ее возможных состояний в фиксированный момент времени.

Эволюция системы представляется как движение точки фазового пространства. Кривая, описываемая этой точкой называется фазовой кривой или фазовой траекторией.

Определим динамическую систему в виде отношения на множествах X, Y, T, C.

T

X Y

C

Множества X и Y представляет воздействия на систему внешней среды и ее реакции. Далее будем их называть входными и выходными переменными. Множество Т представляет множество t0, t1, t2, …множеств времени в интервале наблюдения.

Множество моментов времени T может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Рассмотрим процесс переходов системы в фазовом пространстве состояний.

Пусть в начальный момент наблюдения t0 система находилась в некотором состоянии, который будем называть начальное состояние Ct₀. Множество всех возможных начальных состояний есть декартовое произведение t₀ C. Множество всех возможных входных сигналов в моменты времени t₁, t₂,… тоже есть декартово произведение Т Х.

Множество всех возможных переходов системы в интервале наблюдения под воздействием входных сигналов представляет соотношение вида

(t₀ C) (T X) C

Математическую модель процесса переходов системы в фазовом пространстве, наблюдаемого во времени, можно записать в следующем виде:

С_t = P {(t₀,…,t), C, X},

где Р – операторов перехода системы в фазовом пространстве

состояний.

Выходная реакция системы в любой момент времени определяется состоянием системы в этот момент времени. Поэтому справедливо следующее соотношение.

Y_t = G{С_t}

Таким образом, динамическая система представляет собой множество

S = (P, G, X, Y, C, T). (4)

Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы

Дата добавления: 2014-01-07