Средняя гармоническая

При расчете средних показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене каждого варианта осредняемого признака не изменялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем (например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой, не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

Вид средней определяется характером взаимосвязи определяющего показателя с осредняемым.

Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты.

Когда статистическая информация не содержит частот / по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение x-f, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим x-f = w, откуда / = w/x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы но имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (5.4) вместо xf подставим w, вместо x — отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

(5.9)

х„

Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса /, а известно w = x-f, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

Например, по данным (табл. 5.5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля:

Таблица 5.5

Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам

в октябре 2007 г.

Номер магазина	Цена картофеля, тг\кг,	Выручка от реализации, млн тг..	Частота (количество реализованных единиц), кг, / = w / х
	X
1-й			30 000
2-й			15 000
3-й		18.	20 000
Итого	—		65 000

Расчет средней цены выражается соотношением:

_ Выручка от реализации, руб. средняя цена, тг. Количество реализованных единиц, кг

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц – неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, тг., по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле (5.9) средней гармонической взвешенной:

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать),тенге:

_ ₌ 80^ 30000 + 100 -15000 + 90.20000 _ 57000000

*^ар " " 30000+15 000 + 20000 65000

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реальной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в качестве определяющего показателя (57 млн. тг).

Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле (5.9) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле:

где - - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; п - число вариантов.

Пример. У предпринимателя имеются два автомобиля различных моделей, работающих на одинаковой марке бензина. Расход бензина у первого автомобиля равен 0,05 л/км, у второго – 0,08 л/км. Каков средний расход бензина на 100 км (или 1 км) пройденного пути?

Может показаться, что решение этой задачи заключается в расчете средней арифметической простой, т.е. расход, л/км, равен (0,05+0,008): 2 = 0,065.

Однако такой расчет является ошибочным. Покажем это на примере одного и того же количества израсходованного бензина. Предположим, расход бензина на поездку составил 40 л (как будет показано ниже, конкретная цифра значения не имеет). На 40 л бензина первая машина пройдет 800 км, т.е. (40: 0,05), пробег второй – составит 500 км, т.е. (40: 0,08), следовательно, общий пробег равен 1300 км.

Если средняя исчислена правильно, то при замене индивидуальных значений их средним не должен измениться определяющий показатель – в данном случае общий пробег. Принимая хар = 0,065 л/км, общий пробег оказывается меньше на 69,23 км, так как 40: 0,065 + 40: 0,065 = 1230,77 км, что подтверждает ошибочность выполненного расчета простой средней.

Правильное решение этой задачи должно в своей основе содержать исходное (логическое) соотношение средней.

Для того чтобы определить средний расход бензина на 1км пройденного пути (*гаР, л/км) необходимо общий расход бензина поделить на суммарный пробег обоих автомобилей:

= 0,0615,

40 + 40 40 40

0,05 0..08

или 6,15 л на 100 км.

Как видим, расчет сведен к исчислению средней гармонической простой (при этом конкретное количество израсходованного бензина роли в расчете не играет, главное, чтобы оно было одинаковым).

При замене индивидуальных значений признака их средней (жrap) общий пробег не изменится:

- = 1.100 км.

0,0615 0,0615

Если по двум частям совокупности (численности щ и и2) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:

(5.11)

Для закрепления знаний по теме рассмотрим задачу на применение в расчетах средней арифметической и средней гармонической.

Пусть требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре 1996 г. по данным табл. 5.6.

Таблица 5.6 Информация о вкладах в банке для расчета средних значений

	Октябрь	Ноябрь
	Число	Средний	Сумма	Средний
	вкладов,	размер	вкладов,	размер
Вид вклада	тыс..	вклада,	млрд руб.,	вклада,
		тыс. руб.,		тыс. руб.,
	J	X	w	X
До востребо-
вания			4,07
Срочный			3,87

В октябре известен средний размер вкладов каждого вида х и количество вкладов. Следовательно, для расчета среднего размера вклада по двум видам применяем формулу средней арифметической взвешенной, тыс. тенге.

£х/ _ 10 • 350 + 8 • 400 ₌

В ноябре известен средний размер вкладов каждого вида, а количество вкладов – не известно, но зато имеются данные об общих суммах этих вкладов.

Путем деления сумм вкладов w каждого вида на их средний размер вклада х можно определить веса – число вкладов / по их видам, а затем определить средний размер вклада по двум видам по формуле средней арифметической взвешенной. Однако, если в расчете использовать среднюю гармоническую взвешенную, то отпадает необходимость предварительных расчетов весов – размеров вкладов по каждому виду, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

Итак, средний размер вклада в ноябре по двум их видам находим по формуле средней гармонической взвешенной, тыс. тенге:

Дата добавления: 2014-01-07