Оси и центры

Исследование уравнения эллипса

Директрисы эллипса

Замечание.

Замечания.

III. Линии второго порядка

§13. Эллипс («Недостаток»)

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная. Эти точки и называются фокусами эллипса, а расстояние между ними называется фокальным расстоянием.

Название «эллипс» ввел Аполлоний Пергский (ок. 262 – ок. 190 до н. э.), рассматривавший его как одно из конических сечений.

1) Половину указанной суммы обозначают через а, тогда сама сумма равна 2а. Если М – произвольная точка эллипса, то числа, – называются фокальными радиусами и по определению эллипса получаем:

.

2) Половину фокального расстояния обозначают через c, тогда Из треугольника ∆ имеем: или или

Теорема. Если фокусы эллипса лежат на оси ОХ прямоугольной декартовой системы координат Oxy и симметричны относительно начала координат, то в этой системе эллипс имеет уравнение:

(1)

где (2)

Уравнение (1) называется каноническим или простейшим уравнением эллипса.

Доказательство.

Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса, и – его фокусы. Тогда по определению эллипса имеем: Перейдем в этом равенстве к координатам:

,

(3)

. (4)

Так как, то и можно положить, отсюда

.

Уравнение (4) примет вид:. Делим обе его части на

Итак, доказано, что координаты произвольной точки эллипса удовлетворяют уравнению (1). Аналогично можно доказать, что координаты любой точки, не лежащей на эллипсе, уравнению (1) не удовлетворяют.

Теорема доказана.

Определение 2. Число называется эксцентриситетом эллипса с уравнением (1) при условии (2).

3) Так как то.

Если с = 0, то ε= 0 и из (2) получаем a = b. Уравнение (1) принимает вид:

или - уравнение окружности с центром в начале координат О (0; 0) радиуса. Таким образом, ε характеризует отличие эллипса от окружности, его «вытянутость»;

4) Так, то уравнение (3) принимает вид: или или.

Термин «эксцентриситет» ввел Иоганн Кеплер (1715 - 1630).

Определение. Директрисами эллипса с уравнением (1)при условии (2) называются прямые, определяемые уравнениями:, где. Так как то.

Замечание. У окружности ε = 0 и директрис нет.

Теорема. Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к ее расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равна эксцентриситету эллипса.

Доказательство.

Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса, - расстояние от нее до ближайшей к фокусу директрисы:.

По замечанию 4 имеем:, тогда: или. Аналогично рассуждая получим, что.

Теорема доказана.

Пусть эллипс задан каноническим уравнением

, (1)

где, то есть.

Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса. Уравнение (1) содержит переменную во 2-ой степени, следовательно, при замене на уравнение (1) не изменится. Значит, точка М (-х; у) также лежит на эллипсе. Но эти точки симметричны относительно оси OY, тогда и весь эллипс симметричен относительно оси ординат.

Аналогично, уравнение (1) не изменится при замене y на –y, следовательно, эллипс симметричен относительно оси абсцисс.

Уравнение (1) не изменится также при одновременной замене x на –x и y на –y, следовательно, эллипс с уравнением (1) симметричен относительно начала координат.

Определение 1. Центр симметрии эллипса называется его центром, оси симметрии эллипса называются его осями; ось эллипса, на которой лежит его фокус, называется фокальной осью.

Дата добавления: 2014-01-07