КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Другие виды уравнения гиперболы
Расположение относительно осей Вершины Оси и центр Исследование уравнения гиперболы Пусть гипербола задана каноническим уравнением , (1) где с2 = а2+b2 . (2) Как и в случае эллипса доказывается, что гипербола с уравнением (1) симметрична относительно осей координат и начала координат. Определение 1. Центр симметрии гиперболы называется её центром, оси симметрии – осями. Ось гиперболы, на которой лежат её фокусы, называется фокальной осью. 1) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох: A1(a;0), A2(-a;0). 2) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оy: точек пересечения с осью Oy нет. Определение 2. Точки пересечения гиперболы с её фокальной осью называются вершинами гиперболы; фокальная ось называется также действительной осью. Ось, с которой гипербола не пересекается называется мнимой осью. Числа a>0 и b>0 называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Исследуем гиперболу в первом квадрате (четверти) то есть при и ; b2x2-a2y2 = a2b2; y =. Если 0 < a, то и принимает мнимые значения (точек гиперболы нет). Если а, то при возрастании возрастает и, начиная от нуля при. Дуги гиперболы в остальных квадрантах симметричны этой дуге относительно осей координат и начала координат. Гипербола состоит из двух изолированных ветвей.
Замечание. Так как, то и директрисы не пересекают гиперболу. 4. Асимптоты (от греческого – несовпадающий, не касающийся) Термин «асимптота» применительно к гиперболе приписывают Аполлонию Пергскому (III век до н.э.). Рассмотрим прямую линию с уравнением, x > 0 и обозначим соответственно через M и N точки гиперболы и этой прямой, ….. общую абсциссу. Ординыты… этих точек обозначим через и, тогда имеем M(x;ym), N(x;yn). Пусть для определённости эти точки находятся в первом квадрате.
tg α =. Пусть MK, тогда MK – расстояние от точки M гиперболы до прямой. Из MNK имеем MK = MN cos α, так как NMK = α = KOA1 (углы соответственно перпендикулярным сторонам). Тогда имеем YN = x, YM =, так как a x, то x- >0 и YN > YM. Следовательно: NM = YN-YM = (x-). Устраним абсциссу к бесконечности и рассмотрим предел:
=. Но тогда и MK = MN cos α = cos α (x-) при стремится к нулю. Таким образом, точка М при неограниченно приближается к прямой. Если же, то к прямой неограниченно приближается и другая ветвь гиперболы в третьем квадранте. Так как гипербола симметрична относительно оси Oy, то этими же свойствами обладает и прямая с уравнением.
Определение 3. Две прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, нигде их не пересекая, называются асимптотами гиперболы. OA1 = a, A1C1 = b,. OC1 = OF1 = C, где с2 = a2 + b2 = OC12 = OF12. 1) Пусть гипербола задана уравнением: . (3) Тогда фокальной осью является ось Oy, и вершины гиперболы лежат на этой оси. Центр – О(0;0). 2) Пусть центр гиперболы находится в точке. Тогда если её оси параллельны осям то.
B1(0;b), B2(0;-b), F1(0;c), F2(0;-c). (c>b) - директрисы; - асимптоты. Определение 4. Гиперболы с уравнениями (1) и (3) называются сопряжёнными друг другу. 3) Сопряжённые гиперболы (1) и (3) имеют общие асимптоты с уравнениями. 4) Если a = b, то гипербола называется равносторонней. Уравнение (1) в этом случае имеет вид: x2 – y2 = a2 (4) Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и. Из формулы (2) получаем: с2 = 2а2 . В этом случае асимптоты равносторонней гиперболы содержат биссектрисы координатных углов и поэтому взаимно перпендикулярны. Если эти асимптоты принять за оси прямоугольной декартовой системы координат, то в этой системе равносторонняя гипербола имеет уравнение: или, (5) где или. Уравнение (5) называется уравнением гиперболы, отнесённой к свои асимптотам.
Таким образом, равносторонняя гипербола является графиком обратной пропорциональности.
5) Пусть центр гиперболы находится в точке. Тогда если её оси параллельны осям координат Ох и Оy, то имеем соответственно уравнения: и.
Пример. Построим гиперболу с уравнением x2 – 4y2 = 4x. Выделим полный квадрат с переменной: (x2 – 4x +4) – 4y2 – 4 = 0, (x-2)2 – 4y2 = 4;
O’(2;0), a = 2, b = 1,;
OF1 = OC1 =. §18. Парабола (“приложение”) Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой l, не проходящей через фокус, называемой директрисой. Для вывода уравнения параболы за ось Ox примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно директрисе l. За положительное направление оси абсцисс возьмём направление от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем точку O, которая делит пополам отрезок от директрисы до фокуса. Длину этого отрезка обозначим через P и назовем фокальным параметром параболы. Тогда фокус F имеет координаты, а точка A оси Ox, через которую проходит директриса l, имеет координаты. Возьмем произвольную точку M(x,y) параболы и соединим ее с фокусом F, а затем опустим перпендикуляр MN на директрису l. При этом длину отрезка MN обозначим через r и назовем фокальным радиусом точки M, а длину отрезка MN обозначим d. Тогда по определению параболы имеем:.
Замечание: По аналогии с эллипсом и гиперболой число, назовем директрисой параболы. Так как r=d, то для параболы.
Теорема. Пусть прямоугольная декартова система координат Oxy выбрана указанным выше способом. Тогда в этой системе координат парабола имеет каноническое уравнение:. Доказательство. Пусть M(x;y) – произвольная точка параболы, – фокус, или – уравнение директрисы. Тогда имеем: ; - расстояние от точки M(x,y) до прямой l, причем x≥0. . . Теорема доказана.
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 813; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |