Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение

Предположим, что производятся независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны только 2 исхода: успех и неудача («У»,»Н»). Причём вероятность успеха Р(У)= p, Р(Н)= q, p+q =1.

Определение 10.1. Последовательность испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, в каждом из них возможны 2 исхода, причём вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

В n испытаниях Бернулли элементарным исходом является:

(ω₁, ω₂,…, ω _n), где ω _i {У,Н}, i {1,…, n }.

Всего таких исходов 2 ⁿ. Поскольку испытания независимы, то:

Р(ω₁, ω₂,…, ω _n)= Р(ω₁)P(ω₂)…P(ω _n).

Обозначим через P_n(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно k успехов. Тогда

P _n (k)=Р{(У,…,У,Н,…,Н),(У,…,У,Н,У,Н,…,Н),…,(Н,…,Н,У,…У)}=

= p^kq^n-k + p^kq^n-k + …+ p^kq^n-k = p^kq^n-k.

Таким образом получим

P _n (k)= p^kq^n-k, k {0,…, n }, p+q =1 – формула Бернулли.

Пример 10.2. Двое равных по силам шахматистов играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырёх? Ничьи во внимание не принимаются.

p=q=, P₂(1)= ∙ ∙ ==;

P₄(2)= ∙ ()² ∙ ()²=6∙=;

Таким образом P₂(1)> P₄(2).

Полиноминальное распределение

Предположим, что производится независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны k исходов E₁, E₂,…, E _k. Вероятность этих исходов обозначим P(E _i)= p_i, i {1,…, k }. Причём =1, k >2.Вероятность того, что в n испытаниях исход E₁ появится r₁ раз, E₂ r₂ раз, …, E₁ – r_k раз, где = n, находится по формуле:

P(r₁, r₂,…, r_k)=…, =1, = n – формула полиноминального распределения.

Замечание 10.3. Формула полиноминального распределения обобщает формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.

Пример 10.4. В урне 3 шара: белый, красный, синий. Из урны 5 раз наудачу извлекаются шары с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар извлечён 3 раза, а красный и синий –по одному разу.

Поскольку p₁ = p₂ = p₃= ; r₁ =3, r₂ =1, r₃ =1.

Тогда P₅(3, 1,1)= ∙ ()³ ∙ ∙ = 20∙= =.

Теорема 11.1. (Пуассона) Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р. Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а p →0, причём n∙p=a – величина постоянная, то P _n (k).

По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях

P _n (k)= p^kq^n-k=p^k (1 - p) ^n-k.

Отсюда

P _n (k)= p^k (1 - p) ^n-k=p^k (1 - p) ^n-k.

По условию a=n∙pp=, подставляя, получим:

P _n (k)= =

= …=

= … .

Переходя к пределу при n →∞

= = [ т.к. ].

Замечание 11.2. Теоремой Пуассона удобно пользоваться, когда p →0, причём a=n∙p 10. Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных параметров a и k.

Формула Бернулли удобна, когда значение n не очень велико. В противном случае используют приближенные формулы из теорем Муавра-Лапласа.

Теорема 11.3. (локальная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0< p <1, то вероятность того, что событие A появится ровно k раз в n независимых испытаниях

P _n (k), где – малая функция Лапласа, , q =1- p.

Имеются специальные таблицы значений функции . Нужно учитывать, что функция – чётная, т.е. =.

Теорема 11.4. (интегральная теорема Муавра-Лапласа) Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от отлична от 0 и 1, т.е. 0< p <1, то вероятность того, что событие А появится от k₁ до k₂ раз в n независимых испытаниях, определятся выражением:

P _n (k₁,k₂), где – функция Лапласа, , , q =1- p.

Функция Лапласа – нечётная, т.е. . Значения находят по таблице.

Пример 11.5. Пусть вероятность события А в каждом отдельном испытании p =0,8. Найти вероятность того, что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях.

По локальной теореме Муавра-Лапласа х == = –1,25. Значение (–1,25)=(1,25)=0,1826 находится по таблице.

Тогда вероятность

P₁₀₀(75)*0,18260,04565.

Пример 11.6. Вероятность Р(А) появления события А в одном испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.

n =100, p =0,8, q =0,2, k₁= 70, k₁= 100.

По интегральной теореме Муавра-Лапласа === –1,25, === 5. По таблице (-2,5)= -(2,5)= -0,4938, (5)=0,5, P₁₀₀(70,100)(5) -(-2,5)=0,5+0,4938=0,9938

Дата добавления: 2014-01-07