Бесконечно удаленная точка

.

.

Итак.

. (3)

4. n = -2, -3, -4, …. Выкладки в этом случае такие же, как и в предыдущем.

(4)

вследствие периодичности первообразной.

Итак, мы доказали, что при целом n не равен нулю в единственном случае - когда n = -1 и точка z ₀ лежит в области, ограниченной контуром. В этом случае

Замечание. Строго говоря, перебирая различные возможности, мы не рассмотрели вариант, когда точка z ₀ лежит на контуре L. В этом случае подынтегральная функция теряет определенность в точке z ₀, и необходима теория несобственных комплексных интегралов. В то же время очевидно, что если точка z ₀ → L, находясь внутри контура L, то , если же z извне контура L, то . Вообще эти вопросы - предмет теории Сохоцкого.

Интегральная формула Коши.

Теорема. Пусть w = f (z) аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D ₁, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки z ₀ ∈ D ₁ имеет место формула

. (5)

Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке z ₀ «портится» как раз введением множителя . Доказательство очень похоже на доказательство того, что . Мы окружим точку z ₀ окружностью L _ρ радиуса ρ столь малого, что на L _ρ функция f (z) мало отличается от f (z ₀): f (z) ≈ , тогда

. (6)

Более строго, возьмём ρ столь малым, что окружность L _ρ радиуса ρ с центром в z ₀ лежит в D ₁. Функция w = f (z) аналитична в двусвязной области, заключенной между L и L _ρ, поэтому (следствие Теоремы Коши для многосвязной области)

.

Распишем последний интеграл: . Второй интеграл здесь равен . Первый интеграл а). не зависит от ρ (действительно, подынтегральная функция аналитична в области между L _ρ и L _ρ1, где L _ρ1 - окружность радиуса ρ₁ < ρ, и по тому же следствию из Теоремы Коши для многосвязной области ; б).

.

Из утверждений а) и б) следует, что первый интеграл .
Докажем утверждение б). Обозначим M _ρ = max | f (z) − f (z ₀)| при z ∈ L _ρ, при этом, вследствие непрерывности функции, M _ρ → 0 при ρ → 0. Оценим

по модулю (учитывая, что z − z ₀ = ρ e ^{i φ}, z = z ₀ + ρ e ^{i φ}, dz = i ρ e ^{i φ} d φ) . Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши: .
Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы.
1. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области. Этот факт можно сформулировать в виде теоремы о среднем. Возьмём ρ такое, что окружность L ρ радиуса ρ с центром в z ₀ лежит в D _1. Тогда z − z ₀ = ρ e ^{i φ}, z = z ₀ + ρ e ^{i φ}, dz = i ρ e ^{i φ} d φ,

. Поэтому справедлива
2. Теорема о среднем. Значение аналитической функции в каждой точке z ₀ равно среднему арифметическому её значений на любой окружности с центром в точке z ₀.
Теорема доказана в предположении, что точка z ₀ лежит внутри контура L. Если z ₀ находится вне контура, то , так как подынтегральная функция аналитична в .
3. Формула справедлива и для многосвязной области, если под кривой L подразумевать полную границу области. В дальнейшем нам понадобится такой вариант: f (z) аналитична в замкнутом кольце, ограниченном окружностями L_R и L _ρ. Тогда для всех z, лежащих внутри кольца,

(7)

при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. В последней формуле переобозначены переменные: z ₀ → z, z → t.
Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем интегральную формулу Коши в переменных z,

Продифференцируем эту формулу по z:

(на самом деле законность дифференцирования интеграла по параметру z требует обоснования; мы примем этот факт без доказательства).

Продолжим дифференцирование:

; ,

и вообще

. (8)

Следовательно:
Если функция f (z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка (т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f (z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов.

Запишем формулы Коши в виде

,

.

С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f (z) - аналитическая функция. Естественно, точка z ₀ должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).
Примеры: 1. .

Здесь f (z) = e^z, z ₀ = 3 лежит внутри круга | z - 1| = 4, поэтому .
2. .

Здесь внутри круга L ₁ = { z: | z + 1| = 2} лежит точка z ₀ = 0, поэтому f (z) = sin z / (z – 3) и .

3. .

Здесь внутри круга L ₂ = { z: | z - 2,5| = 1} лежит точка z ₀ = 3, поэтому f (z) = sin z / z и .
4. .

Здесь внутри круга L ₃ = { z | | z | = 4} лежат обе точки z ₀ = 0 и z ₀₁ = 3, но, по следствию из Теоремы Коши для многосвязной области,

.
5. .

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой при : .

.

Ряды Тейлора.

Пусть функция w = f (z) аналитична в области D, z ₀∈ D. Обозначим L окружность с центром в z ₀, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, . Представим множитель в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: ,(так как | z – z ₀| < | t – z ₀|, то ) и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:

, (1)

так как

.

Итак,

. (2)

.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции f (z). Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция w = f (z) аналитична в области D, z ₀ ∈ D, то функция f (z) может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z – z ₀) ⁿ. Этот ряд абсолютно сходится к f (z) внутри круга | z – z ₀| < r, где r - расстояние от z ₀ до границы области D (до ближайшей к z ₀ точки, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.
Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся ранее разложений:
; (3)

; (4)
; (5)

; (6)

. (7)
Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ∀ z ∈ C). Для геометрических прогрессий имеют место формулы
; (8)

. (9)

То, что эти ряды сходятся при | z | < 1, понятно. Ближайшие к центру разложения z ₀ = 0 точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки z = ±1, в которых соответствующие функции неопределены. Также имеем

. (10)

В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к f (x) при | x | ≥ 1, ведь f (x) определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности | z | = 1 расположены точки z = ± i, в которых f (z) не определена.
При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Рассмотрим, например, разложение функции ln(z + 1). Ln 1 = ln 1 + i arg 1 = 2 k π i, k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой Ln 1 = 0 (k = 0), т.е. главное значение логарифма

f (z) = ln (z + 1). На этой ветви

, поэтому , и
. (11)
Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это z = -1, поэтому ряд сходится при | z | < 1.
Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции f (z) = (1 + z) ^α. Это (при любом комплексном α) общая степенная функция, поэтому f (z) = (1 + z) ^α = z ^{α ln(1 + z )} (однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: ; аналогично f ″(0) = α (α − 1); и т.д.; f ^{( n )}(0) = α (α − 1)…(α − n + 1), поэтому

. (12)
Решение задач на разложение функций в ряд. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая. Рассмотрим, например, задачу: разложить функцию по степеням z - 7. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию , затем почленно продифференцируем его:

. Круг сходимости . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности ряд расходится. Далее,

. Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.

Пусть дана последовательность : .

Такую последовательность назовем неограниченно возрастающей. Она предела не имеет. Вводят комплексное число и считают всякую неограниченно возрастающую последовательность сходящейся к этому числу, которому поставим в соответствие бесконечно удаленную точку комплексной плоскости. Полная комплексная плоскость-обычная комплексная плоскость плюс . Точки рассматриваемой последовательности с возрастанием их номера располагаются вне концентрических кругов с центром в начале координат, радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Точки данной последовательности стремятся к точке независимо от направления на полной комплексной плоскости. Из элементов неограниченно возрастающей последовательности составим последовательность . Эта последовательность сходится к точке . В этой связи полагают . Устанавливаются следующие соотношения

, которые естественны с точки зрения предельного перехода в операциях сложения и умножения.

Ряды Лорана.

Пусть функция f (z) аналитична в кольце ρ ≤ | z − z ₀| ≤ R. Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:

(так как | z – z ₀| < | t – z ₀|, то ) , (1)

и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , (2)

где

.

Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только,

что на L _ρ | t – z ₀| < | z – z ₀|:

. (3)

И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: , (4)

где

. (5)

Переобозначим n → − n, тогда форма коэффициентов ряда для L _ρ совпадёт с формой коэффициентов ряда для L_R:

поэтому окончательно для интеграла по L _ρ получим . (6)

Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть Γ - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце ρ ≤ | z − z ₀| ≤ R, и точка z ₀ расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; ,

поэтому для любого n

,

и
.

Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени (z – z ₀), называется рядом Лорана функции f (z). Его часть, содержащая неотрицательные степени

(),

называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени

(),

называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z ₀| ≤ R, главная - во внешности круга | z – z ₀| ≥ ρ, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце ρ ≤ | z – z ₀| ≤ R. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим

Примеры разложения функций в ряд Лорана.
Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции .
Здесь z ₀ = 2; функция теряет аналитичность в точках z ₁ = 0, z ₂ = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z ₀ (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:
1. | z – 2| < 2; 2. 2 < | z – 2| < 6; 3. | z – 2| > 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. - таково разложение f (z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. , где | z – 2| < 2; ; это разложение справедливо, если | z – 2| < 6, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области .

Этот ряд содержит только правильную часть.
2. В кольце 2 < | z – 2| < 6 знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби ) по модулю , поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что , получим =. Это - главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид .
3. В кольце | z − 2| > 6 ⇔ 6 < | z − 2| < +∞ для первой дроби разложение такое же, как и в предыдущем случае:

или .

Для второй дроби .

Ответ можно записать и в форме

,

и в форме . В этом разложении имеется только главная часть.
Пример 2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням .
Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке , поэтому .

Главная часть здесь равна ,

остальные слагаемые образуют правильную часть.
Пример 3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням z + 2.
Решение. Здесь z ₀ = -2; функция теряет аналитичность только в точке z ₀ и в точке z ₁ = 2, отстоящей от z ₀ на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1. 0 < | z + 2| < 4 и 2. | z – 2| > 4.

.

Первый множитель представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции .
1. В первом кольце 0 < | z + 2| < 4.

Получаем

, , , .
Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями z + 2, выделить главную часть: и т.д., но это уже не принципиально.
2. Во втором кольце | z + 2| > 4 получаем

, , , .

Дата добавления: 2014-01-07